Матрицы Паули

[Sicker]

Munin в сообщении #973271 писал(а):

Ладно, я подразумевал $i\sigma_1$

может быть $i\sigma_{2}$?
Будет два корня $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$

-- 04.02.2015, 01:26 --

Вообще для любой унитарной матрицы с единичным определителем будет два квадратных корня, тоже унитарных матриц с единичным определителем, исключение - $\begin{pmatrix}\hphantom{-}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$, для нее бесконечное число квадратных корней

-- 04.02.2015, 01:29 --

(Оффтоп)

Geen в сообщении #973320 писал(а):

Выглядит как очень простой вопрос - можно не понимая сути просто прикинуть кол-во параметров и связей...

Че вы несете, как можно не понимая сути прикинуть коли-во параметров и связей?

[Munin]

Geen в сообщении #973320 писал(а):

Выглядит как очень простой вопрос - можно не понимая сути просто прикинуть кол-во параметров и связей...

А так и надо на него отвечать. Он больше для того, чтобы ответ на него понять и использовать.

-- 04.02.2015 01:36:48 --

Sicker в сообщении #973323 писал(а):

может быть $i\sigma_{2}$?

Да-да. Сначала приписал $i,$ потом забыл поменять индекс.

Sicker в сообщении #973323 писал(а):

Вообще для любой унитарной матрицы с единичным определителем будет два квадратных корня, тоже унитарных матриц с единичным определителем, исключение - $\begin{pmatrix}\hphantom{-}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$, для нее бесконечное число квадратных корней

Правильно!

Вопрос, на который я не знаю ответа: сколько квадратных корней у унитарной матрицы с единичным определителем в $3\times 3$?

-- 04.02.2015 01:38:32 --

Munin в сообщении #973330 писал(а):

Правильно!

Нет, вру. Это сколько корней среди таких же унитарных матриц. А вообще среди матриц - вопрос отдельный.

-- 04.02.2015 01:39:35 --

Как минимум, ещё две с определителем $-1.$

[Sicker]

Кстати, для квадратного корня из первого примера получилось выражение $\pm i\vec{n}\vec{\sigma}$

-- 04.02.2015, 01:45 --

Munin в сообщении #973330 писал(а):

сколько квадратных корней у унитарной матрицы с единичным определителем в $3\times 3$?

А какая-нибудь связь с вращениями у них есть?

[Munin]

Munin в сообщении #973330 писал(а):

Как минимум, ещё две с определителем $-1.$

А, не, вру. Но не понимаю, почему это неправда.

-- 04.02.2015 01:47:59 --

А, не, не вру. И понимаю, почему я ошибся.

-- 04.02.2015 01:50:56 --

Ну вот, всего 4 корня и получилось. $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ и $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$

[Sicker]

Munin в сообщении #973330 писал(а):

Как минимум, ещё две с определителем $-1.$

Я так понимаю, что у группы $U(2)$ уже нет такой связи с $SO(3)$? А их можно как-то представить экспонентами? (я так понимаю множество унитарных матриц с определителем $-1$ уже не составляют группу, тк $-1\cdot -1=1$)

-- 04.02.2015, 01:50 --

Munin в сообщении #973330 писал(а):

Как минимум, ещё две с определителем $-1.$

Я так понимаю, что у группы $U(2)$ уже нет такой связи с $SO(3)$? А их можно как-то представить экспонентами? (я так понимаю множество унитарных матриц с определителем $-1$ уже не составляют группу, тк $-1\cdot -1=1$)

[Munin]

Sicker в сообщении #973335 писал(а):

Я так понимаю, что у группы $U(2)$ уже нет такой связи с $SO(3)$?

$U(2)=U(1)\times SU(2).$ Группа $U(1)$ - это единичная окружность на комплексной плоскости, достаточно взять определитель унитарной матрицы, и вынести его как отдельный множитель.

Sicker в сообщении #973335 писал(а):

А их можно как-то представить экспонентами?

Да, почти все матрицы можно представить экспонентами. (Вопрос: какие нельзя?)

Sicker в сообщении #973335 писал(а):

(я так понимаю множество унитарных матриц с определителем $-1$ уже не составляют группу, тк $-1\cdot -1=1$)

Да. Если в группе есть подгруппа, то остальная часть группы подгруппу не составляет и подгрупп не содержит, потому что в ней нет единичного элемента. Но там бывают другие штуки (названий не помню, потому что теорию групп не помню).

[Sicker]

Munin в сообщении #973337 писал(а):

$U(2)=U(1)\times SU(2).$ Группа $U(1)$ - это единичная окружность на комплексной плоскости, достаточно взять определитель унитарной матрицы, и вынести его как отдельный множитель.

Тогда они выражаются через экспоненты как $\exp(i(H+aI))$, где $H$-эрмитова матрица с нулевым следом, а $a$-вещественное число(а $I$-единичная матрица)?

-- 04.02.2015, 02:24 --

или даже просто $\exp(iH)$, где $H$-эрмитова матрица

-- 04.02.2015, 02:45 --

Munin в сообщении #973333 писал(а):

Ну вот, всего 4 корня и получилось. $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ и $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$

Are u sure about this?

-- 04.02.2015, 02:47 --

Все таки будет два корня на множестве $SU(2)$

[Sicker]

Munin в сообщении #973333 писал(а):

Ну вот, всего 4 корня и получилось. $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ и $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$

Вы забыли сменить знаки у вторых матриц, должно быть $\pm\begin{pmatrix}\hphantom{-}-\frac{i}{\sqrt{2}}&\frac{i}{\sqrt{2}}\\-\frac{i}{\sqrt{2}}&-\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.$

-- 04.02.2015, 04:10 --

Всего четыре корня, да

[kcp]

Munin в сообщении #973121 писал(а):

После Фейнмана хорошо бы почитать Ландау-Лифшица и Рубакова. Ну и по КТП - тоже соответствующий учебник (их много, и я не знаю, в каком это было бы особенно хорошо изложено).

А можно вопрос по книге -- А. Мессиа "Квантовая механика" Том 2?

Я правильно понимаю, что появление полуцелых значений спина чисто математически связано с достаточно общим определением квантового оператора момента импульса через коммутационные соотношения? (выражение 3 на 15-ой странице).

Если так, то тут, видимо, есть некоторая произвольность в определении оператора?

[Munin]

kcp в сообщении #973455 писал(а):

Я правильно понимаю, что появление полуцелых значений спина чисто математически связано с достаточно общим определением квантового оператора момента импульса через коммутационные соотношения? (выражение 3 на 15-ой странице).

Да.

kcp в сообщении #973455 писал(а):

Если так, то тут, видимо, есть некоторая произвольность в определении оператора?

Как всегда в теорфизике, мы сначала постулируем нечто из достаточно общих соображений, но потом обязательно проверяем экспериментально, правильно мы догадались или нет. Операторы, определённые через коммутационные соотношения, во-первых, удовлетворяют принципу соответствия: переходят в классический момент импульса в пределе классической механики. Во-вторых, они отвечают сохраняющейся величине, что нам от момента импульса и нужно. И в-третьих, в результате полуцелый спин, как он появляется в теории, соответствует полуцелому спину, наблюдаемому в экспериментах: и законам преобразования этого спина при вращениях, и законам взаимного превращения спина и орбитального момента.

Можно попробовать другие определения оператора, но я уверен, что даже если вы сохраните первое свойство, то нарушите второе.

[kcp]

Munin в сообщении #973668 писал(а):

Можно попробовать другие определения оператора, но я уверен, что даже если вы сохраните первое свойство, то нарушите второе.

Начну спорить, придётся изобретать коммутирующий с гамильтонианом оператор удовлетворяющий принципу соответствия моменту импульса.

[Munin]

Ну давайте изобретайте! Теоретиком не стать, если не браться дерзновенно за каждый вызов!

-- 04.02.2015 22:59:26 --

Подсказка: принцип соответствия фиксирует только поведение членов при $\hbar^0.$ В частности, в коммутационных соотношениях. А если вы добавите что-то первого порядка, второго и так далее?