Компактная укладка ромбододекаэдров

[kavict]

Тела обязательно должны быть слеплены по целым граням.

[ИСН]

Тогда совсем другое дело. Тогда Вы, пожалуй, правы.

[kavict]

ИСН в сообщении #973115 писал(а):

Тогда совсем другое дело. Тогда Вы, пожалуй, правы.

Допустим, но как это доказать?

[ИСН]

Что "это"? Я перечитал Ваше утверждение - и вдруг оно протекло у меня между пальцев и исчезло. Верно ли, что если прилеплять тела гранями друг к другу, то получится такая упаковка, где они все прилеплены гранями друг к другу? Ну э... а как иначе-то?

-- менее минуты назад --

А, там было ещё что-то про ближайшие центры. Хм. Э. Тогда чёрт его знает.

[grizzly]

ИСН
Я думаю, что вопрос уже можно сформулировать и он может представлять некоторый интерес.

Рассмотрим, для примера, последовательность различных плоских полимино ($n$-мино): 1-мино, 2-мино, 3-мино... Выберем для каждого $n$ те $n$-мино, для которых обрамляющая окружность будет наименьшего радиуса. Получили некоторую последовательность "оптимальных" $n$-мино (возможно, по несколько представителей для каждого $n$).
Вопрос 1: всегда ли $n+1$-мино в этой последовательности может быть образовано из некоторого $n$-мино той же последовательности присоединением одного квадратика?
Вопрос 2: если мы стартуя от 1-мино на каждом шаге будем добавлять квадратик к $n$-мино предыдущего шага по принципу "центр нового квадратика поближе к центру масс предыдущего $n$-мино", получим ли мы подпоследовательность "оптимальной" последовательности $n$-мино? или мы можем на каком-то шаге выпасть из "оптимальной"?
В вопросах 1-2 рассматриваются только допустимые для полимино способы присоединения квадратиков.

Аналогичные вопросы могут быть сформулированы для любой системы замощения плоскости / пространства одинаковыми фигурами / телами. Например, здесь спрашивают о Вопросе 2 для ромбододекаэдро-полиформ.

Я подозреваю, что ответ на Вопрос 1 всегда будет положительный; с Вопросом 2 сложнее, но хочется верить, что тоже.

-- 04.02.2015, 00:06 --

Полиформы из ромбододекаэдров называют полиронами (англ. polyrhons). (Так считает Википедия, но гуглу мало что известно об этом.)

[ИСН]

Да никакого интереса он не представляет, очевидно всё. Что будет наилучшей упаковкой для четырёх квадратиков? Большой квадрат, что же ещё. А для пяти? Да крестик же. Ну и как получить его из него?

[grizzly]

Насчёт квадратов -- согласен.
Насчёт интереса к постановке вопроса в общем для полиформ на плоскости и в пространстве -- тоже не спорю: интерес, понятно, дело того самого, о котором известно чего не делают :)

[ИСН]

Теперь я думаю, что скорее всего там для любых форм будет то же самое, только пример найти труднее.

[grizzly]

На этот раз моя интуиция настолько уверенно возражает, что я, пожалуй, доверюсь ей и скажу об этом вслух. Я повозился немного с гексагональной укладкой на плоскости и пока не могу поверить. (А полимино я расписывал не глядя, только для удобства формулировок и даже не чувствую себя попавшим впросак. Хотя, нужно сказать, был немного удивлён, скорее приятно.)

[kavict]

Значит, вы полагаете, гипотеза о том, что ряд компактных укладкок ромбододекаэдров получается последовательным прибавлением по одному элементу, неверна?

[ИСН]

Теперь - да, думаю, что неверна.

-- менее минуты назад --

Да и вообще заниматься этим неправильно. Ромбододекаэдры - это не арбузы, которые можно носить и перекладывать. Их вообще нет. Ну то есть они возникают как ячейки Вороного в одной известной решётке, и имеют смысл только в контексте вопросов о той же решётке. Как только её поменяли или убрали - всё поменялось, фигуры не такие, ничего нет.

[ИСН]

Слушайте, всё ерунда. Пример совсем близко, прямо у нас под носом. Как надо сложить четыре фигуры, чтобы влезли в минимальный шар? Опишите мне эту конфигурацию. Так. А теперь - шесть.

[kavict]

ИСН в сообщении #974483 писал(а):

Слушайте, всё ерунда. Пример совсем близко, прямо у нас под носом. Как надо сложить четыре фигуры, чтобы влезли в минимальный шар? Опишите мне эту конфигурацию. Так. А теперь - шесть.

Программа, работающая по алгоритму прибавления нового элемента в месте, наиболее близком к центру объема предыдущего множества, дает следующий ряд:
4 элемента
5
До этого все идет нормально, но на следующем шаге новый элемент добавляется не туда, куда, казалось бы, надо для компактности
6
Далее "правильность" восстанавливается
7 вид сверху и 7 вид снизу
Далее все идет вроде бы правильно (хотя я уже не уверен)
8
10
100
1000 и т.д.

-- 06.02.2015, 20:10 --

ИСН в сообщении #974157 писал(а):

...
Да и вообще заниматься этим неправильно. Ромбододекаэдры - это не арбузы, которые можно носить и перекладывать. Их вообще нет. Ну то есть они возникают как ячейки Вороного в одной известной решётке, и имеют смысл только в контексте вопросов о той же решётке. Как только её поменяли или убрали - всё поменялось, фигуры не такие, ничего нет.

Я понимаю. Только в данной задаче предполагается не "носить и перекладывать ромбододекаэдры, как арбузы", а в пространсте, сплошь заполненном ромбододекаэдрами, выделить такое их множество с заданным числом элементов, которое имело бы форму, максимально приближенную к сферической, а затем превратить это множество в сферу, чтобы выяснить, как эта инородная сфера исказит регулярную структуру заполнения. Но это уже другая тема.

[ИСН]

Короче, я Вас убедил, что по крайней мере в одном месте инкрементальный рост даёт сбой?

[kavict]

ИСН в сообщении #974731 писал(а):

Короче, я Вас убедил, что по крайней мере в одном месте инкрементальный рост даёт сбой?

Вы оказались правы, но именно об этом сбое я знал давно.