2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 16:05 


17/12/13
96
Задача:
Имеется $N$ одинаковых ромбододекаэдров (как известно, это параллелоэдр). Требуется уложить их так, чтобы сфера, содержащая эту укладку, была минимального радиуса (назовем такую укладку компактной).

Предлагаемый алгоритм укладки:
Складываем гранями два ромбододекаэдра. Эта укладка из двух тел по определению является компактной. Третий элемент добавляем в том месте, где его центр располагается наиболее близко к центру объема множества из двух элементов:
Изображение
Следующий элемент добавляем так же - туда, где его центр располагается наиболее близко к общему центру уже уложенных трех элементов:
Изображение, и т.д.

Как доказать, что этот алгоритм приводит (или не приводит) к компактной укладке произвольного числа многогранников?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5467
Поскольку такая укладка заполняет пространство без пропусков и наложений, то, конечно, она в пределе будет компактной (в Вашем понимании термина).

Для небольших значений $N$ эта укладка не обязательно будет оптимальной. При $N=5$ это видно невооружённым глазом -- видно же, что первые два выгодно раздвинуть и в образовавшееся пространство втиснуть уголки остальных трёх. Радиус сферы, естественно, станет меньше.

Посмотрите здесь, как это происходит с укладками других фигур / тел в зависимости от $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Ну они же укладываются, не оставив свободного места? Значит, компактнее некуда.
Или вопрос в чём-то другом - например, в возможности продолжения этой укладки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 17:08 


17/12/13
96
grizzly в сообщении #972566 писал(а):
Поскольку такая укладка заполняет пространство без пропусков и наложений, то, конечно, она в пределе будет компактной (в Вашем понимании термина).
Извините, не понял - в каком пределе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
В пределе $N\to\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5467
kavict в сообщении #972577 писал(а):
в каком пределе?

Начиная с некоторого $N_0$ такая укладка будет оптимальной для любого количества $N>N_0$ ромбододекаэдров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 17:26 


17/12/13
96
ИСН в сообщении #972567 писал(а):
Ну они же укладываются, не оставив свободного места? Значит, компактнее некуда.
Или вопрос в чём-то другом - например, в возможности продолжения этой укладки?
То, что многогранники укладываются так, что не остается свободного места между ними, еще не означает компактности укладки в указанном выше смысле. Вопрос состоит в том, обеспечивает ли описанный алгоритм такую укладку заданного числа $N$ ромбододекаэдров ($N>5$), что радиус описанной сферы будет минимально возможным, и никакая перестановка внешнего элемента укладки не уменьшит этот радиус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5467
kavict в сообщении #972587 писал(а):
Вопрос состоит в том, обеспечивает ли описанный алгоритм такую укладку заданного числа $N$ ромбододекаэдров ($N>5$), что радиус описанной сферы будет минимально возможным, и никакая перестановка внешнего элемента укладки не уменьшит этот радиус.

Очевидно, не обеспечивает. Поверьте, что $N_0$ намного больше 5. Если Вам достанет пространственного воображения, то для $N=7$ Вы сможете представить, что предложенная укладка не будет оптимальной.

Насколько я понимаю, Вас интересует вопрос: можно ли найти $N_0$ и доказать минимальность этого $N_0$ аналитически? Очень сомневаюсь. Я прошу Вас пройти по предложенной ссылке и убедиться, что подобные, но значительно более простые вопросы на плоскости решаются вычислительными методами в поиске рекордов (а не доказательств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5467
kavict
У меня закрались сомнения, что и при сколь угодно больших $N$ в некоторых случаях можно будет произвести шевеления Вашей конфигурации, позволяющее уменьшить радиус сферы. Представьте себе укладку, идеально заполняющую объём шара; тогда добавление ещё одного тела резко увеличивает необходимый радиус. Здесь я не уверен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 19:20 


17/12/13
96
grizzly в сообщении #972590 писал(а):
kavict в сообщении #972587 писал(а):
Вопрос состоит в том, обеспечивает ли описанный алгоритм такую укладку заданного числа $N$ ромбододекаэдров ($N>5$), что радиус описанной сферы будет минимально возможным, и никакая перестановка внешнего элемента укладки не уменьшит этот радиус.

Очевидно, не обеспечивает. Поверьте, что $N_0$ намного больше 5. Если Вам достанет пространственного воображения, то для $N=7$ Вы сможете представить, что предложенная укладка не будет оптимальной.
Вот укладка для $N=7$, построенная по описанному алгоритму:
Изображение, и она же - с другой стороны:Изображение
Как, по Вашему, нужно переставить любой элемент, чтобы радиус описанной сферы уменьшился?

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5467
kavict в сообщении #972630 писал(а):
Как, по Вашему, нужно переставить любой элемент, чтобы радиус описанной сферы уменьшился?

Боюсь, я не смогу изобразить это такими же красивыми рисунками. Я попробую на словах. Только я буду отталкиваться от самого первого из Ваших рисунков в этой теме. Давайте присвоим буквы обозначенным там телам. Первые 2 по алгоритму -- это Л(левый) и П(правый). Последующие -- В(верхний), Н(нижний), Д(дальний), Б(ближний); здесь если и спутаем пары, то это не критично.

Ниже все числа даны приближённо, на глаз, и нужны только чтоб не сбиться в пути.
Длина стороны ромба = 1.
Диаметр конфигурации в направлении Д--Б = 5.2.
Диаметр конфигурации в направлении П--Л = 3.2.
Диаметр обрамляющей сферы -- 5.4.
Раздвинем П и Л симметрично в направлениях П--Л на 1 ед. (по 0.5 каждый от центра). Это движение не увеличит диаметр обрамляющей сферы.
Д и Б будем отодвигать вместе с Л; В и Н -- вместе с П.
Очевидно, что Д, Б, В и Н могут быть немного задвинуты в образовавшийся в центре просвет. Такое задвижение уменьшит радиус конфигурации. Но мы не будем задвигать их максимально плотно -- оставим небольшой зазор для Седьмого тела.

Поправьте меня, если я ошибся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
grizzly, Ваше изложение уподоблю подлодке, плавающей на боку.
Очевидно, в этой конфигурации у нас есть один уникальный шарик, касающийся только трёх других (у остальных - больше). Далее есть три, касающиеся его, а потом ещё три остальных. Так вот, немного раздвинем в стороны первые три (там есть место, потому что они не упирались в сферу), и это даст нам возможность вдвинуть уникальный немножко глубже между ними; это и будет ответ.

-- менее минуты назад --

А так я согласен, что никакого $N_0$, скорее всего, нет. Плотнейшая упаковка хоть и будет доминировать, но не абсолютно, а в каком-то другом смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение02.02.2015, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
5467
ИСН
Согласен и спасибо за помощь. Моё пространственное воображение оставляет желать и желать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение03.02.2015, 15:59 


17/12/13
96
Мне кажется, мы говорим о разном. Наверное, я плохо сформулировал суть вопроса. Попробую еще раз.
Допустим, у нас имеется 7 одинаковых ромбододекаэдров. Будем складывать их во всевозможные комбинации, как, например, показано на рисунке:
Изображение
(числа, стоящие рядом с каждой конфигурацией, к данному вопросу отношения не имеют)
Представим, что вокруг каждой конфигурации описана сфера, и радиус этих сфер, очевидно, будет различным. Например, у конфигурации, обозначенной числом 48 описанная сфера будет наибольшего радиуса, а у обозначенной числом 34 - наименьшая из четырех показанных.
Перепробывав всевозможные варианты взаимного расположения этих семи ромбододекаэдров, найдем тот, у которого радиус описанной сферы будет наименьшим - обозначим эту конфигурацию $K_7$. Это значит, что семь ромбододекаэдров данного размера никак нельзя уместить в меньшую сферу.
Теперь возьмем 8 таких же ромбододекаэдров и будем их складывать в различных комбинациях до тех пор, пока не найдем такую, у которой радиус описанной сферы будет наименьшим для восьми ромбододекаэдров - обозначим эту укладку $K_8$. В моей терминологии $K_7$ и $K_8$ - компактные укладки.
Вопрос: будет ли укладка $K_8$ отличаться от $K_7$ только добавлением одного элемента, или это будут совсем разные укладки?
У меня по компьютерным моделям получается, каждая последующая компактная укладка получается из предыдущей добавлением нового элемента, т.е., чтобы получить $K_8$, нужно к $K_7$ добавить новый элемент в определенном месте, как описано в алгоритме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Компактная укладка ромбододекаэдров
Сообщение03.02.2015, 17:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
В Ваших комбинациях набор возможных положений дискретен? То есть ромбододекаэдры обязательно должны быть слеплены по граням?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group