Бозонный газ в полости

[amon]

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Если не о режиме сильной связи, то я готов спорить, что они и при наличии взаимодействия остаются неизменными. Разумеется, в смысле среднего по ансамблю.

Боюсь, проспорите. Для бозонов при низких температурах выпадет конденсат, и перестроится вакуум со всеми вытекающими. Для фермионов есть теория Ландау для Ферми-жидкости. В ней показано, что сохраняется "подобие" (в смысле - похожесть) распределения взаимодействующих фермионов распределению Ферми-Дирака. Эта наука хорошо работает для металлов (не сверхпроводящих!), но в ее "всепригодности" сейчас есть большие сомнения. В точно решаемых (одномерных) моделях распределения Ферми-Дирака (при T=0) часто нет. Так, что если спорить, то в рукаве что-нибудь обязательно найдем ;)

[Munin]

Интересно, спасибо. Учебники для начинающих какие порекомендуете.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #971271 писал(а):

Предлагаю дополнить его формой $g(E)$ в нулевом приближении у края зоны для фононов (акустической ветви) и фермионов. Чтобы можно было делать некоторые "оценки на пальцах" и качественные рассуждения по размерности.

Да. Плотность состояний колебаний простой 3-мерной кристаллической решётки в т.н. модели Дебая:

$D(\omega)=V_{\text{крист}}\, \dfrac{3\omega^2}{2\pi^2v^3}$ ,

где $v$ - усреднённая по трём акустическим ветвям скорость звука; в каждой такой ветви $\omega_{\mathbf{k}, j}=v_j |\mathbf{k}|,$ а усреднение определено формулой:

$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_1^2}+\dfrac{1}{v_2^2} + \dfrac{1}{v_3^2}$ .

Плотность состояний для электрона в 3-мерном кристалле в модели "простой изотропной зоны", т.е. для одной ветви энергетического спектра вида $E_{\mathbf{k}, j}=(\hbar |\mathbf{k}|)^2/(2m),$ где $m$ - эффективная масса электрона, $j$ - спиновый индекс с двумя значениями, ноль отсчёта энергии выбран "на дне" зоны:

$g(E)=V_{\text{крист}} \, \dfrac{4 \pi (2m)^{3/2}}{(2 \pi \hbar)^3} \, \sqrt{E}$

В этих формулах $V_{\text{крист}}$ - объём кристалла. плотность состояний электронов здесь записана уже с учётом "спиновой двойки", т.е. она просуммирована по двум возможным проекциям проекции элекетронного спина (плотность состояний в расчёте на одну проекцию спина получится делением указанного выражения на $2$).

[amon]

Munin в сообщении #971290 писал(а):

Учебники для начинающих какие порекомендуете.

Не знаю, как для начинающих, а для Вас -

про теорию Ландау
Абрикосов, Горьков, Дзялошинский Методы квантовой теории поля в статистической физике

Про бозоны, становящиеся фермионами, и при этом не имеющие распределения Ферми-Дирака

Боголюбов,Изергин,Корепин Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи. (Первую главу, ее, в отличии от остальных, понять можно легко)

К стати, три акустических фонона - это Голдстоуновские бозоны.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Я правильно разглядел, что акустическая LA и оптическая LO ветви переходят друг в друга на участке WL?

Из рисунка трудно понять, но может быть и переходят. Дело в том, что участок WL лежит на границе зоны Бриллюэна, т.е. там, где качественное различие между "акустическими" и "оптическими" типами колебаний невелико.

-- 30.01.2015, 20:53 --

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #971266 писал:

Цитата:

Стоит ещё раз подчеркнуть, что функции распределения Ферми-Дирака и Планка (и выводы с их применением) справедливы в приближении "идеального газа", т.е. в пренебрежении энергией взаимодействия частиц друг с другом.

Это о чём речь? Если не о режиме сильной связи, то я готов спорить, что они и при наличии взаимодействия остаются неизменными. Разумеется, в смысле среднего по ансамблю.

Здесь имеется ввиду, что энергия системы частиц может быть записана как сумма одночастичных энергий, без члена, представляющего собой энергию взаимодействия частиц. Другими словами, предполагается допустимость понятия "одночастичное стационарное состояние", с определённой энергией $E_k$.

В случае нормальной (несверхпроводящей) системы электронов проводимости в металлах это действительно хорошее приближение, потому что даже при учёте заведомо немалого кулоновского взаимодействия между электронами срабатывает "теория ферми-жидкости" Ландау, т.е. можно ввести понятие слабо взаимодействующих квазичастиц, о которых мы обычно и говорим как об электронах в зоне проводимости.

Но есть и другие ситуации; в них межэлектронное взаимодействие (т.н. "корреляционные эффекты") существенно меняет статистические свойства системы. Один пример - сверхпроводящий конденсат электронных пар. В нём затруднительно ввести представление об одночастичных энергиях, а распределение электронов по импульсам не описывается функцией Ферми-Дирака. Менее "экзотический" пример - распределение электронов по примесным уровням в полупроводниках. Хотя здесь в каждом локализованном на примеси состоянии электрон по-прежнему может иметь любую из двух проекций спина, однако нельзя при подсчёте количества электронов просто умножать функцию Ферми-Дирака на "спиновую двойку" - потому что, когда на один и тот же примесный центр садится второй электрон (с другой проекцией спина), энергия двух электронов резко возрастает: на величину межэлектронного кулоновского отталкивания. Этот корреляционный эффект приводит к тому, что формула Ферми-Дирака в исходном виде не применима и должна быть модифицирована, если под энергией $E_k$ в ней понимать энергию локализованного электронного состояния.

С бозе-системами, предполагаю, ситуация аналогичная: взаимодействие бозе-атомов заметно усложняет свойства таких систем (а иначе теория бозе-конденсатов была бы элементарна; правда, в этой области я скорее осло, чем копенгаген).

-- 30.01.2015, 21:22 --

(Оффтоп)

Наконец-то прочитал повнимательнее посты, и вижу, что amon уже ответил на всё раньше. У меня "быстродействие" никудышнее; лана, перехожу в "читатели"

-- 30.01.2015, 21:24 --

Munin в сообщении #971273 писал(а):

Мне кажется, здесь речь идёт не об "энергии" взаимодействия, а об интенсивности взаимодействия (амплитуда, константа связи, у неё много названий). Эта величина, в каком-то смысле, "перпендикулярна" энергии.

Да, согласен.

[Munin]

-- 30.01.2015 22:12:00 --

amon в сообщении #971302 писал(а):

Не знаю, как для начинающих, а для Вас

Ну, вы меня не переоценивайте. В стата́х я на уровне первых учебников типа Киттеля, и первых учебников по ФТТ, типа Ашкрофта-Мермина, да и то прочитанного по диагонали. Знаю слово "кинетика" :-)

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал(а):

где $v$ - усреднённая по трём акустическим ветвям скорость звука; в каждой такой ветви $\omega_{\mathbf{k}, j}=v_j |\mathbf{k}|,$ а усреднение определено формулой:
$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_1^2}+\dfrac{1}{v_2^2} + \dfrac{1}{v_3^2}$.

А вот кстати, я призадумался, эти скорости же переходят друг в друга, при вращении кристалла? Там усреднение точно корректно, то есть, можно взять любое направление, три скорости для трёх поляризаций, и оглы?

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал(а):

где $m$ - эффективная масса электрона

Для неизотропной долины её тоже можно усреднить, аналогично скорости звука. Например, в Si шесть анизотропных долин, но формула по сути та же самая (шестикратно умноженная). (Примечание в сторону.)

Cos(x-pi/2) в сообщении #971305 писал(а):

Здесь имеется ввиду, что энергия системы частиц может быть записана как сумма одночастичных энергий, без члена, представляющего собой энергию взаимодействия частиц. Другими словами, предполагается допустимость понятия "одночастичное стационарное состояние", с определённой энергией $E_k$.

Это всё-таки намекает на режим сильной связи, как я понимаю. А, не, и на коллективные эффекты. Наконец-то допёр, о чём amon говорил (про перестройку вакуума).

-- 30.01.2015 22:31:36 --

amon в сообщении #971302 писал(а):

К стати, три акустических фонона - это Голдстоуновские бозоны.

О! А это я знаю!!! :-)

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #971352 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал:

Цитата:

где $v$ - усреднённая по трём акустическим ветвям скорость звука; в каждой такой ветви $\omega_{\mathbf{k}, j}=v_j |\mathbf{k}|,$ а усреднение определено формулой:
$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_1^2}+\dfrac{1}{v_2^2} + \dfrac{1}{v_3^2}$.

А вот кстати, я призадумался, эти скорости же переходят друг в друга, при вращении кристалла? Там усреднение точно корректно, то есть, можно взять любое направление, три скорости для трёх поляризаций, и оглы?

Всё-таки для реального кристалла не написать формулу для $D(\omega);$ можно только численно рассчитать спектр частот и его плотность состояний. А эта "формула усреднения" лишь поясняет нам, почему в модельной формуле Дебая пишется коэффициент $3/v^2:$ потому что в реальном кристалле для каждого направления волнового вектора $\mathbf{k}$ имелась бы продольная волна с какой-то скоростью звука $v_1$ и две поперечные волны с какими-то скоростями звука $v_1$ и $v_2$. В кристаллах эти скорости звука сами зависят от направления волнового вектора, что не учитывается в модели Дебая.

С этой точки зрения модель Дебая лучше подходит для фононов в изотропной среде (если опять-таки игнорировать некоторые реалии жизни: в жизни-то не не всё так просто, потому что реальные "изотропные среды" это неупорядоченные системы атомов, например, типа стёкол, а неупорядоченность ведёт к "андерсоновской локализации" колебаний и к некоей специфике в плотности состояний.) В изотропной среде скорость продольного звука $v_{\parallel}$ и скорость поперечного звука $v_{\perp}$ не зависит от направления волнового вектора, причём скорости поперечного звука для двух поперечных мод одинаковы: $v_2=v_3=v_{\perp}.$ Поэтому в модельную дебаевскую плотность состояний $D(\omega)$ для изотропной среды войдёт множитель

$\dfrac{3}{v^2} = \dfrac{1}{v_{\parallel}^2}+\dfrac{2}{v_{\perp}^2}$ .

Входящие сюда скорости инвариантны к вращениям среды (но, конечно, продольная в поперечную не переходит, т.к. продольную волну никаким вращением в поперечную не превратить).

Кстати, наверное полезно заметить (для студентов), что плотность состояний фотонов в вакууме даётся такой же "формулой Дебая", но только без вклада продольных мод (т.к. продольных фотонов нет), и со скоростью света вместо скорости поперечного звука. Т.е. для фотонов вместо множителя $3/v^2$ надо в "формулу Дебая" подставить множитель $1/c^2+1/c^2=2/c^2,$ соответствующий сумме вкладов от двух поперечных мод со спектром $\omega_{\mathbf{k}, j}=c|\mathbf{k}|,$ где $j=1, \,2$ нумерует поляризацию фотонов; и тогда получается как раз формула плотности состояний фотонов в вакууме.

Munin в сообщении #971352 писал(а):

Cos(x-pi/2) в сообщении #971301 писал:

Цитата:

где $m$ - эффективная масса электрона

Для неизотропной долины её тоже можно усреднить, аналогично скорости звука. Например, в Si шесть анизотропных долин, но формула по сути та же самая (шестикратно умноженная).

Да. Только формула усреднения чуток другая, потому что масса входит в выражение для энергии электрона не так, как скорость в энергию фотона или фонона. В общем случае если имеется N эквивалентных долин ("эквивалентных" означает переходящих друг в друга при преобразованиях симметрии кристалла), и собственные значения тензора эффективной массы в каждой долине есть $m_1,$ $m_2$ и $m_3$, то в приведённой выше формуле плотности электронных состояний $g(E)$ надо подставить в качестве множителя $m^{3/2}$ выражение

$m^{3/2}=N \, (m_1m_2m_3)^{1/2}$ .