Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[DVN]

Многие помнят апорию Зенона о быстроногом Ахиллесе, который никак не догонит черепаху. Некоторые понимают, что этим хотел выразить мудрец.
Но я тут недавно узнал, что оказывается, черепаха была просто очень шустрая. И, если поменять их местами, то черепаха обязательно догонит Ахиллеса, дайте ей только достаточно времени. Не верите? А я вам сейчас продемонстрирую.
Тут в теме Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности" обсуждалась задача Литлвуда. Я напомню ее условия.
Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно.
И т.д.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?
Ответ: ни одного, ящик пустой.
В задаче не указана ни форма ящика, ни кто опускает и вынимает шары. Это не существенные детали. Вот давайте и заполним эти детали, не нарушая условия задачи. Ящик у нас будет длинный, вдоль него и будут бежать наши бегуны. Попутно Ахиллес будет класть шары в ящик, а черепаха следом их вытаскивать. Ахиллес бежит быстрее, следовательно, и шаров он кладет больше, чем черепаха вытаскивает. Всем ясно, что количество шаров в ящике можно соотнести с расстоянием между Ахиллесом и черепахой. Вначале ящик пустой, оба начинают бег с одной точки. Затем с каждым интервалом в ящике все больше шаров, расстояние между бегунами растет. А в полдень? Ящик пуст, потому что черепаха в конце концов доберется до любого шара. А это значит, что расстояние между черепахой и Ахиллесом ноль, они снова в одной точке, черепаха догнала Ахиллеса. И всего лишь за час (правда час этот равен вечности).
Должно быть понятно, что я не изменил условие задачи. И тот, кто настаивал на том, что ящик будет пуст, вынуждены будут согласиться, что хилому Ахиллесу ни за что не убежать от быстроногой черепахи. А кто не соглашался, тот укрепится в своем мнении.
ИМХО Литлвуд ошибся. Он хотел показать нам что-то вроде мысленного эксперимента: как выглядит мир, в котором разрешены (возможны) операции с бесконечностями. До некоторой степени мы в таком мире и живем: проводя карандашем по бумаге, мы рисуем отрезок, в котором бесконечное число точек.
Но как их представить по отдельности, объекты без размеров. Вот Литлвуд для наглядности представляет их в виде шаров, а бесконечность во времени – в виде такого вот часа. И он хочет продемонстрировать наглядно парадоксы ТМ. Типа: берем в левую руку бесконечное число красных шариков, а в правую бесконечное число синих шариков. Хотим, чтобы напротив каждого красного шарика был синий. Раз и разложили. Не осталось в руках шариков. Снова собрали. Хотим, чтобы синий стоял напротив каждого десятого красного. Раз и готово. И снова все шарики в деле, в руках ничего. Нет для бесконечных множеств такого понятия, как количество.
Чтобы было покрасивше, Литлвуд формулирует эти парадоксы в виде задачи. Знатоки ТМ угадывают эти парадоксы с трех нот и дружно твердят, что все верно, не замечая того, что он сфальшивил на четвертой ноте. А ошибка вот в чем. Хотя нет понятия количества, понятия «больше», «меньше», «равно» сохраняются, ибо они не связаны с количеством, а связаны с отношением между элементами множеств. А раз мы можем манипулировать бесконечным числом объектов, то и строить на них отношения тоже должны быть в состоянии. Ну хотя бы как в примерах выше с шариками. Пока отношения не заданы, множества как бы одинаковы, равномощны. А задали отношение, так сразу становятся равны (первый пример) или одно больше другого (второй пример). Тоже парадокс, разные отношения для тех же самых множеств. А что поделаешь?
Литлвуд в условии задает отношение неравенства положенных и вынутых шаров: один к десяти. Он его фиксирует, привязывая к определенному моменту времени. Как и во втором примере. Все, отношение задано, одно множество больше второго. Напротив каждого синего есть красный, но не каждый красный напротив синего. Затем говорится, что все вынутые шарики располагаются подряд с самого начала и от этого множества станут равными. Ни фига. Можно передвинуть шарик в начало и закрыть дырку, но появится новая, на том месте, откуда шарик убрали. Хоть бесконечное число шариков передвинь, дырки останутся, потому что заданы отношением сначала.
Кто с этим не согласен, у того и получаются черепахи-спринтеры и вмиг испаряющееся бесконечное число шаров. Черепаха, бегущая быстрее Ахиллеса – это уже не парадокс, а невозможная ерунда.
Наверное, выбор ответа на эту задачу зависит от того, с какой стороны в этот выдуманный мир приходишь. Если со стороны теории множеств, то собрал шарики, разложил их по-другому. Были множества неравны, стали равны, ну и что. Парадоксы ТМ. А если со стороны реального мира, то действует принцип наблюдателя, как в физике. Пока ты ничего не знаешь о множествах, ты можешь разложить его как угодно, все возможно. Но если уже раз разложил, понаблюдал его и увидел, что множества не равны, то все, далее это не изменится. И если кто-то собрал шарики и разложил их по новому, и множества стали равны, то он жулик и спрятал часть в рукаве. А за это канделябрами бьют.
Возьмем решето Эратосфена. От бесконечного множества бесконечное число раз отнимаем по бесконечному множеству. И в остатке все равно получаем бесконечное множество простых чисел. А тут бесконечное число раз добавляем в ящик шарики и в итоге ноль, пусто? Как уложить эти две вещи рядом в голову, чтобы она не взорвалась?
В обсуждении упоминался предельный переход. По контексту я догадываюсь, что это такое. Пусть от бесконечного множества бесконечно отнимаем бесконечное подмножество так, чтобы после каждого конечного шага оставалось бесконечное множество. Вроде бы по индукции и в итоге должно остаться бесконечное множество. Но если на каждом шаге в удаляемое подмножество входит первый элемент из оставшихся, то каждый элемент будет когда-нибудь удален и в итоге получаем пустое множество. Это логично. В задаче тоже в конце концов каждый шарик из ящика вынимается. По-видимому, тоже есть предельный переход. Но у меня сложилось впечатление, что он применен не там, где нужно, очень уж нелогичен результат применения.
Еще несколько замечаний о языке в этом мире с бесконечностями. Я уже упоминал, что понятия «количество» нет, по крайней мере в том же объеме, что в реальном мире. Поэтому спрашивать «сколько?» – неточность. Нужно спрашивать «есть или нет шары в ящике?». А вот понятия «больше», «меньше» и «равно» останутся в прежнем значении. А меня хотят убедить, что если в ящик положили больше, чем из него вынули, то ящик пустой. Не получится. Я из этого делаю вывод, что выражения «вынули каждый шар» и «ящик пуст» в этом мире уже не имеют той прямой логической связи, которая наблюдается в реальном мире.

[gris]

DVN в сообщении #970449 писал(а):

мы в таком мире и живем: проводя карандашем по бумаге, мы рисуем отрезок, в котором бесконечное число точек.

Что такое отрезок и точка в реальном мире, в котором мы живём (надеюсь)?

[DVN]

gris в сообщении #970453 писал(а):

Что такое отрезок и точка в реальном мире, в котором мы живём (надеюсь)?

Ну ладно, подловили.Точка, маленький шарик и отрезок содержит бесконечное количество точек только в умах.
Что в целом, как сами считаете, верен ли ответ у Литлвуда?

[Mihr]

Рассуждения интересные. Но вот это место мне представляется сомнительным:

Цитата:

Хотя нет понятия количества, понятия «больше», «меньше», «равно» сохраняются, ибо они не связаны с количеством, а связаны с отношением между элементами множеств.

Поясните, пожалуйста, что означают, по-Вашему, понятия «больше», «меньше», «равно» для бесконечных множеств.

[Лукомор]

DVN в сообщении #970449 писал(а):

И, если поменять их местами, то черепаха обязательно догонит Ахиллеса

(Оффтоп)

Точно догонит?!
А если запустить их по кругу, тоже догонит?!
Или, все таки, пока черепаха проползет этот круг (побывает во всех точках), Ахиллес обгонит ее десять раз подряд?!

[hurtsy]

DVN в сообщении #970449 писал(а):

Сколько шаров останется в ящике в полдень?
Ответ: ни одного, ящик пустой.

Чтобы опустошить бесконечное множество, нужно молча предположить существование аксиомы выбора. Иначе никак, я так думаю. АВ и не такое умеет. С уважением.

[Лукомор]

DVN в сообщении #970449 писал(а):

За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.

Меня в этой задаче всегда напрягал следующий пункт.
В один и тот же момент кладется в ящик шар №10 и вынимается шар №1.
До каких пор пролежит в ящике шар №10?!
Пока не будет положен шар №100!
Аналогично, шар №100 будет лежать в ящике, пока не будет положен шар №1000...
В итоге, я могу не вкладывать и вынимать указанные шары, а просто дописывать в определенные из условия задачи моменты времени очередной нуль к спокойно лежащему там шару №1.
Впрочем, это рассуждение можно применить к любому шару.
Например, шар №13 будет вынут в тот же самый момент, в который будет положен в ящик шар №130.
Но, кроме того, что каждый попавший в ящик шар номер N просто заменяется на шар с номером 10N, в момент замены шаров в ящик просто вбрасывается дополнительно еще 9 шаров с номерами 10N-1... 10N-9, каждый из которых (с номером 10N-K), также в свое время будет заменен шаром с номером 10(10N-K).

[DVN]

Mihr в сообщении #970458 писал(а):

Поясните, пожалуйста, что означают, по-Вашему, понятия «больше», «меньше», «равно» для бесконечных множеств.

Да то же самое. Как мы решаем, что больше, а что меньше. Располагаем объекты друг против друга и смотрим, где остались лишние. Иногда при посредстве цепочки слов "раз, два, три...", располагая объекты напротив слов. Иногда загибаем пальцы.
На бесконечности строим бесконечные отношения. У вас же нет трудностей с определением чего больше: всех чисел или четных чисел? или четных и не четных чисел?

-- Чт янв 29, 2015 14:44:45 --

Хотя я понимаю в чем суть вашего вопроса, на бесконечных множествах, ну например на натуральных четных числах можно построить отношение такое, что против каждого числа будет стоять четное число. Значит, не каждое отношение подходит, над этим стоит подумать.

-- Чт янв 29, 2015 14:52:23 --

Вероятно, мы считаем некоторые отношения более правильными, например, когда одинаковые числа соотносятся с одинаковыми. Если нам о множествах ничего не известно, то мы не можем построить такое "правильное" отношение.

[Mihr]

DVN,
трудность в том, что если множества $A, B$ равномощны, то мы можем альтернативными (и одинаково справедливыми) рассуждениями установить любое из трёх соотношений $A<B, A>B, A=B$ по собственному вкусу. А это значит, что смысл понятий "больше", "меньше" для бесконечных множеств размывается. И требует серьёзного уточнения. Думаю, Вы это и сами прекрасно понимаете.

[DVN]

Для данной задачи "правильным" (для определения что больше) мне представляется отношение, опирающееся на момент времени: каждый вынутый шар соотносим с одним из десяти с ним "одномоментных", и поэтому я считаю, что положено шаров в целом больше, чем вынуто. Вы считаете не так?

-- Чт янв 29, 2015 15:14:42 --

Mihr в сообщении #970492 писал(а):

мы можем альтернативными (и одинаково справедливыми) рассуждениями установить любое из трёх соотношений $A<B, A>B, A=B$ по собственному вкусу.

Если рассуждения одинаково справедливы, то почему тогда знатоки ТМ с таким упорством настаивают, что только ответ Литлвуда правилен?

[Mihr]

DVN, Ваше предложение

Цитата:

каждый вынутый шар соотносим с одним из десяти с ним "одномоментных"

разумеется, выглядит естественным. И, вероятно, эта внешняя естественность и сбивает с толку, делает такое предложения, якобы, безальтернативным. В действительности, рассуждая формально (достаточно строго, но не опираясь при этом на "здравый смысл") можно построить и конструкцию, которая будет указывать на то, что (в выбранном Вами смысле) число вынутых шаров больше числа положенных. Достаточно лишь освободиться от требования "одномоментности" - оно на самом деле логически ниоткуда не следует и введено Вами произвольно (хотя, на первый взгляд, естественно). Думаю, это понятно.
Но суть моего возражения всё же несколько в ином. Я говорил о том, что выбирая за критерий "больше/меньше" возможность построить биекцию одного множества на правильную часть другого, мы фактически разрушаем сами эти понятия, поскольку одинаково легко можем "доказать" и то, что $A>B$, и то что $B>A$. Значит, хотите Вы того или нет, понятия "больше", "меньше" в выбранном Вами смысле к бесконечным множествам неприменимы. Но тогда разрушается и сам парадокс, не так ли?
Следует указать и на то, что Вы рассуждаете о процессе построения бесконечного множества, как о завершённом процессе. А это порою и приводит к подобным парадоксам.

Цитата:

почему тогда знатоки ТМ с таким упорством настаивают, что только ответ Литлвуда правилен?

Не знаю. Я себя ни в малой степени к знатокам теории множеств не отношу. Пусть на этот вопрос лучше ответит тот, для кого он (этот вопрос) ясен.

[arseniiv]

Знатоки теории множеств решают задачи, сформулированные исключительно в терминах теории множеств. Без шаров, ящиков и времени.

[Hasek]

Нельзя работать с бесконечными множествами как с конечными. Понятие мощности именно за тем и вводится, чтобы как-то сравнивать бесконечные множества, где уже нельзя "пересчитать по пальцам" количество элементов.

DVN в сообщении #970449 писал(а):

Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно.
И т.д.

За $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n}$ минуты до полудня вынимается шар $n$ и кладутся ещё 10 шаров - от $10(n-1)+1$ до $10n$. Множество вынимаемых шаров, очевидно, счётно. Множество добавляемых шаров также счётно -- каждый шар в нём можно пронумеровать двумя натуральными индексами, пусть первый из них означает десяток, который докладывался при вынимании шара $n$, а второй -- номер шара в этом десятке (от 1 до 10).

[DVN]

Mihr в сообщении #970582 писал(а):

DVN, Ваше предложение

Цитата:

каждый вынутый шар соотносим с одним из десяти с ним "одномоментных"

разумеется, выглядит естественным. И, вероятно, эта внешняя естественность и сбивает с толку, делает такое предложения, якобы, безальтернативным. В действительности, рассуждая формально (достаточно строго, но не опираясь при этом на "здравый смысл") можно построить и конструкцию, которая будет указывать на то, что (в выбранном Вами смысле) число вынутых шаров больше числа положенных. Достаточно лишь освободиться от требования "одномоментности" - оно на самом деле логически ниоткуда не следует и введено Вами произвольно (хотя, на первый взгляд, естественно). Думаю, это понятно.

Это то понятно. Да, я опираюсь на "здравый смысл" и поэтому считаю, что положенных шаров больше, чем вынутых. Но чем руководствуются они, выбирая равенство тех и других. Ведь только в этом случае ящик будет пустой. Если они руководствуются тем, что множества равномощны, и значит равны - то это ошибка. Если в ящике бесконечное число шаров и я вытаскиваю каждый десятый, то в итоге ящик не станет пустым, хотя множество вытащенных шаров равномощно начальному.

Mihr в сообщении #970582 писал(а):

Но суть моего возражения всё же несколько в ином. Я говорил о том, что выбирая за критерий "больше/меньше" возможность построить биекцию одного множества на правильную часть другого, мы фактически разрушаем сами эти понятия, поскольку одинаково легко можем "доказать" и то, что $A>B$, и то что $B>A$. Значит, хотите Вы того или нет, понятия "больше", "меньше" в выбранном Вами смысле к бесконечным множествам неприменимы. Но тогда разрушается и сам парадокс, не так ли?

Понятно. Пока я не формализую понятия "больше", "меньше", мои рассуждения полного доверия не вызовут. Понятие "больше", "меньше" можно попробовать формализовать через понятия "множество"-"подмножество". Скорее всего так и был получен ответ "ящик пуст". Множество шаров вынутых и положеных - это одно и то же множество. Поэтому они равны.

Mihr в сообщении #970582 писал(а):

Следует указать и на то, что Вы рассуждаете о процессе построения бесконечного множества, как о завершённом процессе. А это порою и приводит к подобным парадоксам.

Это не я, это Литлвуд. Это он так условия задал. Некоторые тоже видели здесь источник ошибки, мол, полдень не наступит никогда. Я тут трудностей не вижу. Говорим же мы, что в результате работы решета Эратосфена останутся только простые числа. И все понимаем смысл этой фразы, хотя реально закончить работу данного алгоритма невозможно.

Mihr в сообщении #970582 писал(а):

Цитата:

почему тогда знатоки ТМ с таким упорством настаивают, что только ответ Литлвуда правилен?

Не знаю. Я себя ни в малой степени к знатокам теории множеств не отношу. Пусть на этот вопрос лучше ответит тот, для кого он (этот вопрос) ясен.

Ладно, подождем других, там много кто настаивал на правильности ответа.

-- Чт янв 29, 2015 19:02:37 --

Hasek в сообщении #970669 писал(а):

За $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle n}$ минуты до полудня вынимается шар $n$ и кладутся ещё 10 шаров - от $10(n-1)+1$ до $10n$. Множество вынимаемых шаров, очевидно, счётно. Множество добавляемых шаров также счётно -- каждый шар в нём можно пронумеровать двумя натуральными индексами, пусть первый из них означает десяток, который докладывался при вынимании шара $n$, а второй -- номер шара в этом десятке (от 1 до 10).

Счетны не значит равны. А чтобы в ящике не осталось шаров, они должны быть равны.

[Mihr]

DVN в сообщении #970688 писал(а):

Понятие "больше", "меньше" можно попробовать формализовать через понятия "множество"-"подмножество".

Это уже делалось. Причём по-разному. Развитие математики показало, что плодотворным здесь является тот путь, который привёл к понятию "мощность множества". Запрещающий перенос житейских представлений на бесконечные множества. Но при использовании лишь понятия мощности множества (и без апеллирования к "здравому смыслу") парадокс не возникает.
Если Вы настаиваете на существовании подлинного парадокса (противоречия), то Вам не обойти вопроса о том, как строго перенести понятия "больше", "меньше" на бесконечные множества. А ответа на это вопрос Вы не даёте (во всяком случае, я такого ответа не увидел).

DVN в сообщении #970688 писал(а):

Некоторые тоже видели здесь источник ошибки, мол, полдень не наступит никогда. Я тут трудностей не вижу. Говорим же мы, что в результате работы решета Эратосфена останутся только простые числа. И все понимаем смысл этой фразы, хотя реально закончить работу данного алгоритма невозможно.

Именно поэтому я написал

Цитата:

это порою и приводит к подобным парадоксам.

Порою, но не всегда.

DVN в сообщении #970688 писал(а):

Счетны не значит равны. А чтобы в ящике не осталось шаров, они должны быть равны.

Однако, Вы и сами объясняли:

DVN в сообщении #970688 писал(а):

Множество шаров вынутых и положеных - это одно и то же множество. Поэтому они равны.

Значит, если допустить, что полдень всё же наступил, - ящик всё же пуст. Я понимаю так.