Оптимальная стратегия выбора большего числа

[corvus42]

Вася выбирает два случайных вещественных числа с неизвестным для Пети распределением, записывает их на листочках, ложит в конверты. Петя берет один конверт, смотрит на число и должен определить, в другом конверте число больше или меньше. Петя выигрывает мильон долларов, если угадывает.

Есть ли стратегия с шансами более 1/2?

Мой ответ: нет, ибо раз Петя не знает распределение, то и повышать свои шансы за счёт него не может.Но есть некоторые сомнения.

[Александрович]

Какие сомнения? Для известного распределения также будет 1/2.

[atlakatl]

Александрович в сообщении #970356 писал(а):

Для известного распределения также будет 1/2.

По известному распределению можно вычислить матожидание, - а значит повысить свои шансы на угадывание "больше-меньше".

[corvus42]

Александрович в сообщении #970356 писал(а):

Какие сомнения? Для известного распределения также будет 1/2.

Вы -- Петя, у вас конверт с числом 1. Распределение вам Вася сказал: он выбирает 0 с вероятностью 99.99%, 1 иначе. Вы считаете эту информацию лишней и для отаета на вопрос больше/меньше кидаете монетку?..

[Александрович]

atlakatl в сообщении #970359 писал(а):

По известному распределению можно вычислить матожидание, - а значит повысить свои шансы на угадывание "больше-меньше".

Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.

[ИСН]

Это одна из тех задач, где верный ответ настолько возмутителен, что порождает бесконечные холивары.
Здесь было уже когда-то, но не могу найти.

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #970435 писал(а):

atlakatl в сообщении #970359 писал(а):

По известному распределению можно вычислить матожидание, - а значит повысить свои шансы на угадывание "больше-меньше".

Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.

Если мне известно, что число в другом конверте взято из стандартного нормального распределения, и известно значение числа в моём конверте (каким образом оно получено, совершенно не важно), то я уже могу судить о вероятности того, что число во втором конверте больше заданного, и для случая видимого 0.543 уверенно скажу "второе меньше", оказавшись прав в 70.64% случаев, а для случая 0.789 прав с тем же утверждением буду в 78.49% случаев.
Решающее правило, собственно, очень простое. Если первое число больше нуля, можно заявлять "второе меньше", если меньше нуля - "второе больше". Если ещё можно маневрировать размером ставки - можно учесть вероятность и получить крайне выгодную стратегию.

[atlakatl]

Александрович в сообщении #970435 писал(а):

больше или меньше число в другом конверте.

В данном случае ФР симметрична относительно $OY$. Оба числа положительны. И Пете в обоих случаях резон заявить, что его число больше.
При $0,543$ он ошибётся, при $0,789$ угадает. Но при увеличении количества выборок по СНР Петя неизменно будет угадывать чаще, чем проигрывать.
PS. Извиняюсь, пока писал, Евгений Машеров ответил.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #970455 писал(а):

Александрович в сообщении #970435 писал(а):

Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.

Если мне известно, что число в другом конверте взято из стандартного нормального распределения, и известно значение числа в моём конверте (каким образом оно получено, совершенно не важно), то я уже могу судить о вероятности того, что число во втором конверте больше заданного, и для случая видимого 0.543 уверенно скажу "второе меньше", оказавшись прав в 70.64% случаев, а для случая 0.789 прав с тем же утверждением буду в 78.49% случаев.
Решающее правило, собственно, очень простое. Если первое число больше нуля, можно заявлять "второе меньше", если меньше нуля - "второе больше". Если ещё можно маневрировать размером ставки - можно учесть вероятность и получить крайне выгодную стратегию.

Статистическое моделирование даёт вероятность 0,5.

[Евгений Машеров]

Я даже промоделировал такую игру, с генерацией двух стандартно-нормальных с.ч., затем по одному из них делается решение на основании описанного правила, и затем проверяется, угадал ли. Зная только знак первого числа, можно с вероятностью более $\frac 1 2$ угадывать, но если учесть его величину - возможно оценка вероятности угадывания, и ею определяется оптимальная ставка. Как легко получить, для такой игры, когда с вероятностью p, поставив X, выигрываешь X сверх ставки, а с вероятностью (1-p) проигрываешь X, оптимальная ставка, выраженная в долях капитала, равна $X_{opt}=2p-1$ (очевидно, при $p<0.5$ играть вовсе не стоит)

(Оффтоп)

Дойдя на сотой итерации до полуторамиллиардного увеличения начальной суммы, я пригорюнился, по случаю отсутствия в моём компьютере денежного принтера...

-- 29 янв 2015, 15:56 --

Александрович в сообщении #970514 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #970455 писал(а):

Александрович в сообщении #970435 писал(а):

Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.

Если мне известно, что число в другом конверте взято из стандартного нормального распределения, и известно значение числа в моём конверте (каким образом оно получено, совершенно не важно), то я уже могу судить о вероятности того, что число во втором конверте больше заданного, и для случая видимого 0.543 уверенно скажу "второе меньше", оказавшись прав в 70.64% случаев, а для случая 0.789 прав с тем же утверждением буду в 78.49% случаев.
Решающее правило, собственно, очень простое. Если первое число больше нуля, можно заявлять "второе меньше", если меньше нуля - "второе больше". Если ещё можно маневрировать размером ставки - можно учесть вероятность и получить крайне выгодную стратегию.

Статистическое моделирование даёт вероятность 0,5.

Это интересно. Я, как сказано выше, такое моделирование провёл, и мои результаты отличны от Ваших (и вообще отличны и даже замечательны, жаль, что нет казино с такими условиями )
Можно ли узнать методику Вашего моделирования?

[arseniiv]

ИСН в сообщении #970443 писал(а):

Это одна из тех задач, где верный ответ настолько возмутителен, что порождает бесконечные холивары.

Использовать полученную информацию, чтобы приближать и приближать распределение?

[corvus42]

arseniiv
А что если розыгрыш только один?

[arseniiv]

Мне как раз и интересно, что имелось в виду под возмутительным результатом.

Вообще, чтобы определить вероятность удачи в игре при незнакомом распределении у Васи, надо сначала определить вероятностное пространство распределений, или показать, что при любом будет одна и та же. (Может, этот результат и есть возмутительный?)

[--mS--]

arseniiv в сообщении #970679 писал(а):

Мне как раз и интересно, что имелось в виду под возмутительным результатом.

Смотрите: topic53418.html

[arseniiv]

А, ну там и постановку вы написали понятнее. Интересно.