2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 07:53 


09/03/14
57
Вася выбирает два случайных вещественных числа с неизвестным для Пети распределением, записывает их на листочках, ложит в конверты. Петя берет один конверт, смотрит на число и должен определить, в другом конверте число больше или меньше. Петя выигрывает мильон долларов, если угадывает.

Есть ли стратегия с шансами более 1/2?

Мой ответ: нет, ибо раз Петя не знает распределение, то и повышать свои шансы за счёт него не может.Но есть некоторые сомнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 07:59 
Аватара пользователя


21/01/09
3023
Дивногорск
Какие сомнения? Для известного распределения также будет 1/2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 08:27 
Аватара пользователя


21/09/12
1649
Александрович в сообщении #970356 писал(а):
Для известного распределения также будет 1/2.

По известному распределению можно вычислить матожидание, - а значит повысить свои шансы на угадывание "больше-меньше".

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 12:13 


09/03/14
57
Александрович в сообщении #970356 писал(а):
Какие сомнения? Для известного распределения также будет 1/2.

Вы -- Петя, у вас конверт с числом 1. Распределение вам Вася сказал: он выбирает 0 с вероятностью 99.99%, 1 иначе. Вы считаете эту информацию лишней и для отаета на вопрос больше/меньше кидаете монетку?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 12:21 
Аватара пользователя


21/01/09
3023
Дивногорск
atlakatl в сообщении #970359 писал(а):
По известному распределению можно вычислить матожидание, - а значит повысить свои шансы на угадывание "больше-меньше".

Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 12:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Это одна из тех задач, где верный ответ настолько возмутителен, что порождает бесконечные холивары.
Здесь было уже когда-то, но не могу найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 13:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5623
Москва
Александрович в сообщении #970435 писал(а):
atlakatl в сообщении #970359 писал(а):
По известному распределению можно вычислить матожидание, - а значит повысить свои шансы на угадывание "больше-меньше".

Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.


Если мне известно, что число в другом конверте взято из стандартного нормального распределения, и известно значение числа в моём конверте (каким образом оно получено, совершенно не важно), то я уже могу судить о вероятности того, что число во втором конверте больше заданного, и для случая видимого 0.543 уверенно скажу "второе меньше", оказавшись прав в 70.64% случаев, а для случая 0.789 прав с тем же утверждением буду в 78.49% случаев.
Решающее правило, собственно, очень простое. Если первое число больше нуля, можно заявлять "второе меньше", если меньше нуля - "второе больше". Если ещё можно маневрировать размером ставки - можно учесть вероятность и получить крайне выгодную стратегию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 13:43 
Аватара пользователя


21/09/12
1649
Александрович в сообщении #970435 писал(а):
больше или меньше число в другом конверте.

В данном случае ФР симметрична относительно $OY$. Оба числа положительны. И Пете в обоих случаях резон заявить, что его число больше.
При $0,543$ он ошибётся, при $0,789$ угадает. Но при увеличении количества выборок по СНР Петя неизменно будет угадывать чаще, чем проигрывать.
PS. Извиняюсь, пока писал, Евгений Машеров ответил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 15:24 
Аватара пользователя


21/01/09
3023
Дивногорск
Евгений Машеров в сообщении #970455 писал(а):
Александрович в сообщении #970435 писал(а):
Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.


Если мне известно, что число в другом конверте взято из стандартного нормального распределения, и известно значение числа в моём конверте (каким образом оно получено, совершенно не важно), то я уже могу судить о вероятности того, что число во втором конверте больше заданного, и для случая видимого 0.543 уверенно скажу "второе меньше", оказавшись прав в 70.64% случаев, а для случая 0.789 прав с тем же утверждением буду в 78.49% случаев.
Решающее правило, собственно, очень простое. Если первое число больше нуля, можно заявлять "второе меньше", если меньше нуля - "второе больше". Если ещё можно маневрировать размером ставки - можно учесть вероятность и получить крайне выгодную стратегию.

Статистическое моделирование даёт вероятность 0,5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
5623
Москва
Я даже промоделировал такую игру, с генерацией двух стандартно-нормальных с.ч., затем по одному из них делается решение на основании описанного правила, и затем проверяется, угадал ли. Зная только знак первого числа, можно с вероятностью более $\frac 1 2$ угадывать, но если учесть его величину - возможно оценка вероятности угадывания, и ею определяется оптимальная ставка. Как легко получить, для такой игры, когда с вероятностью p, поставив X, выигрываешь X сверх ставки, а с вероятностью (1-p) проигрываешь X, оптимальная ставка, выраженная в долях капитала, равна $X_{opt}=2p-1$ (очевидно, при $p<0.5$ играть вовсе не стоит)

(Оффтоп)

Дойдя на сотой итерации до полуторамиллиардного увеличения начальной суммы, я пригорюнился, по случаю отсутствия в моём компьютере денежного принтера...


-- 29 янв 2015, 15:56 --

Александрович в сообщении #970514 писал(а):
Евгений Машеров в сообщении #970455 писал(а):
Александрович в сообщении #970435 писал(а):
Я Вася, из стандартного нормального распределения извлек два числа 0.543 и 0.789, запечатал их в конверт и один отдал вам. Вы Петя, открываете конверт и видите одно из чисел. Вы также знаете что числа я извлекаю из нормального распределения с мо=0 и ско=1. Угадывайте, больше или меньше число в другом конверте.


Если мне известно, что число в другом конверте взято из стандартного нормального распределения, и известно значение числа в моём конверте (каким образом оно получено, совершенно не важно), то я уже могу судить о вероятности того, что число во втором конверте больше заданного, и для случая видимого 0.543 уверенно скажу "второе меньше", оказавшись прав в 70.64% случаев, а для случая 0.789 прав с тем же утверждением буду в 78.49% случаев.
Решающее правило, собственно, очень простое. Если первое число больше нуля, можно заявлять "второе меньше", если меньше нуля - "второе больше". Если ещё можно маневрировать размером ставки - можно учесть вероятность и получить крайне выгодную стратегию.

Статистическое моделирование даёт вероятность 0,5.


Это интересно. Я, как сказано выше, такое моделирование провёл, и мои результаты отличны от Ваших (и вообще отличны и даже замечательны, жаль, что нет казино с такими условиями 8-) )
Можно ли узнать методику Вашего моделирования?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 18:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
ИСН в сообщении #970443 писал(а):
Это одна из тех задач, где верный ответ настолько возмутителен, что порождает бесконечные холивары.
Использовать полученную информацию, чтобы приближать и приближать распределение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 18:43 


09/03/14
57
arseniiv
А что если розыгрыш только один?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
Мне как раз и интересно, что имелось в виду под возмутительным результатом. :-)

Вообще, чтобы определить вероятность удачи в игре при незнакомом распределении у Васи, надо сначала определить вероятностное пространство распределений, или показать, что при любом будет одна и та же. (Может, этот результат и есть возмутительный?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
3901
arseniiv в сообщении #970679 писал(а):
Мне как раз и интересно, что имелось в виду под возмутительным результатом. :-)

Смотрите: topic53418.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальная стратегия выбора большего числа
Сообщение29.01.2015, 19:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21608
Уфа
А, ну там и постановку вы написали понятнее. Интересно. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group