Задача о двух конвертах

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #970024 писал(а):

Речь идёт о задаче с известной функцией распределения. И попытка только одна.

Вскрывая первый конверт (любой из двух) мы всегда получаем 4/5 от суммы, которую мы ожидаем получить от смены конвертов.
Обидно, да?!
Вот на столе два конверта.
К столу подходят два участника шоу.
Один берет конверт, вскрывает, а там 20 долларов:
"Прекрасно! Я его поменяю, и получу в среднем 25 долларов (средний доход +5 долларов)!"
Второй берет другой конверт, видит там 40 долларов, и радуется еще больше:
"Поменяв конверт я получу в среднем 50 долларов (средний доход +10 долларов)!"
Таким образом, если изначально в двух конвертах было всего 60 долларов, то, простой операцией обмена между двумя участниками, эта сумма увеличивается в среднем на 15 долларов.
Правильно?
Нет!
Потому что, если первый участник получит к своим 20 долларам еще +20 долларов, то второй потеряет из своих 40 долларов те же самые -20 долларов.

[atlakatl]

Лукомор
Мы говорим о разных задачах. С Вашим разбором Вашей формулировки я полностью согласен.

[Лукомор]

(Оффтоп)

atlakatl в сообщении #970098 писал(а):

Мы говорим о разных задачах.

"После того, как задача решена, необходимо ознакомиться с условием..."
Я, конечно понимаю, что можно придумать множество задач, в условии которых присутствуют два конверта, но все же любопытно, о какой задаче говорите Вы?!

[Shadow]

Лукомор в сообщении #970207 писал(а):

можно придумать множество задач, в условии которых присутствуют два конверта,

Если предположить существование равномерного распределения на бесконечности, можно придумать множество парадоксов и без конвертов. Кстати, какова вероятность, что в конверте будет меньше миллиарда долларов?

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #970207 писал(а):

о какой задаче говорите Вы?!

О задаче в старт-топике, предложенной _Ivana. В ней игроку вручается конверт с $X$, а затем каким-то образом определяется, сколько денег положить в конверт для возможного обмена - $X/2$ или $2X$.
Shadow:

Цитата:

Если предположить существование равномерного распределения на бесконечности

Не существует равномерного распределения на бесконечности. Попробуйте составить контрпример в дискретном варианте, - не получится.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #970222 писал(а):

Кстати, какова вероятность, что в конверте будет меньше миллиарда долларов?

Вероятность равна единице.
Максимальный номинал одной банкноты - сто долларов.
Конверт - стандартный почтовый конверт.
10 миллионов банкнот в конверт не влезут.

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #970332 писал(а):

О задаче в старт-топике, предложенной _Ivana. В ней игроку вручается конверт с $X$, а затем каким-то образом определяется, сколько денег положить в конверт для возможного обмена - $X/2$ или $2X$.

Да, это совсем другая задача...
Если сумма денег в двух конвертах не зафиксирована заранее, а определяется после вскрытия конверта, то, естественно, поменять конверт выгоднее.
Только это уже будет не обмен между двумя игроками.
Действительно, пусть на первом этапе в двух конвертах 20 и 40 долларов соответственно, то есть всего 60.
Два игрока вскрывают каждый свой конверт, и тому, у которого 20 долларов, предлагают наудачу поменять их на один из двух других конвертов, в одном из которых 10 долларов, а в другом 40 долларов.
Тому, у кого 40 долларов, предлагают наудачу поменять их на один из двух конвертов, в одном из которых 20 долларов, а в другом аж 80 долларов.
Теперь уже сумма денег, с которой они завершат обмен уже не 60 долларов, а одна из четырех: 30, 60, 90, или 120 долларов.
В среднем будет 75 долларов на двоих, или 37,5 на каждого.
Только конвертов с деньгами в этом случае не 2, а 6.

[grizzly]

Лукомор
Простите мне моё любопытство. Я безо всякой задней мысли хотел бы поинтересоваться Вашей стратегией поведения в гипотетически реальной ситуации при неоффтопичной модификации задачи. Можете дать просто ответы без каких-либо пояснений -- дело-то здесь житейское. Всё это разъяснялось ранее в мат.моделях, а вот как Вы это теперь понимаете, я так и не уверен.

Ситуация 1.
На стол выложили 1000 конвертов. Количество денег в каждом определяли равномерно-случайным образом в интервале от 2 до N тугриков. Число N знает крупье, но Вам оно неизвестно. Напротив каждого конверта с помощью монетки положили конверт с суммой в 2 раза большей / меньшей.
Вопрос 1. Ваша стратегия с этой стороны стола?
Вопрос 2. Ваша стратегия с той стороны стола?

Ситуация 2.
На стол выложили 1000 чемоданов. Количество денег в каждом определяли равномерно-случайным образом в интервале от 2 до N тугриков. N -- максимальное число, которое определило казино. Крупье знает N, но Вам оно неизвестно. Напротив каждого чемодана с помощью монетки положили чемодан с суммой в 2 раза большей / меньшей. Но если в чемодане было больше чем $N/2,$ напротив всегда попадал чемодан с уполовиненной суммой.
Вопрос 1. Ваша стратегия с этой стороны стола?
Вопрос 2. Ваша стратегия с той стороны стола?
Это сложнее, но ведь и ответы нужны чисто житейские, без особых расчётов.

[Лукомор]

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #970462 писал(а):

Простите мне моё любопытство.

Любопытство - в любом случае должно поощряться!
Хотел бы в свою очередь полюбопытствовать, что Вы хотели сказать в условии этих двух задач.

Условия задачи в ваших двух случаях мне совершенно непонятны.
Во-первых, что такое стратегия в вашем понимании.
Во-вторых, что такое стратегия "с этой стороны стола" и что такое стратегия "с той стороны стола".
И сколько сторон у стола вообще, может быть он круглый?!

[grizzly]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #970725 писал(а):

Хотел бы в свою очередь полюбопытствовать, что Вы хотели сказать в условии этих двух задач.

Я до сих пор не уверен, в чём Вы здесь видите парадокс. На этих примерах стало бы понятно.

Я скажу, как понимаю сам и постараюсь без высоких материй.
Ни с житейской, ни с математической точки зрения описанные выше ситуации парадоксами не являются. Очевидно, например, что в Ситуации 1 с этой стороны нужно меняться, а с той -- нет (хотя я знаю "лириков", которых невозможно будет и в этом переубедить).
А что все конверты зафиксированы заранее, здесь неважно. Видно, что и житейские рассуждения простые, и мат.модель вроде понятная.

Чтобы возникла ситуация "парадокса" делают так, например: в Ситуации 1 с вероятностью 1/2 меняют соответствующие конверты по эту и по ту сторону стола. И при этом обязательно нужно к этой новой ситуации притянуть старую мат.моделью -- неравновесную. Теперь с житейской точки зрения всё равно никакого парадокса: меняйся или нет -- нет разницы. Но с математической теперь попробуй докажи, что ты не верблюд.

А вот Ваши объяснения я то интерпретирую в пользу правильного понимания "парадоксального" места, то -- наоборот.

(Оффтоп)

Я рассматриваю здесь эту ситуацию чисто с бытовой точки зрения. Математически давно и исчерпывающе всё уже прозвучало.

-- 29.01.2015, 21:31 --

Лукомор в сообщении #970725 писал(а):

Во-первых, что такое стратегия в вашем понимании.

Стратегия -- это ответ на вопрос, как выгоднее всего (не)меняться в серии из 1000 игр.

Лукомор в сообщении #970725 писал(а):

Во-вторых, что такое стратегия "с этой стороны стола" и что такое стратегия "с той стороны стола".

эта сторона -- куда положили первые конверты, та сторона -- куда положили удвоенные или уполовиненные конверты. По стратегии сказал Выше -- это когда Вы всю серию играете с одной стороны стола.

А сможете представить бесконечно длинный прямоугольный стол? Просто я в казино никогда не был, а по фильмам тоже не особо обращал внимание.

[Лукомор]

grizzly в сообщении #970462 писал(а):

Ситуация 1.
На стол выложили 1000 конвертов. Количество денег в каждом определяли равномерно-случайным образом в интервале от 2 до N тугриков. Число N знает крупье, но Вам оно неизвестно. Напротив каждого конверта с помощью монетки положили конверт с суммой в 2 раза большей / меньшей.
Вопрос 1. Ваша стратегия с этой стороны стола?
Вопрос 2. Ваша стратегия с той стороны стола?

Я понял так, что есть всего две "чистых" стратегии: либо забираем тысячу "первых" конвертов, либо забираем тысячу "вторых" конвертов. Промежуточные стратегии - если в первом конверте столько денег - меняюсь, если в первом больше, чем в прошлый раз, не меняюсь - не рассматриваем.
И (я правильно понимаю?), максимальная сумма, которую можно обнаружить во втором конверте равна 2N.
Здесь выгоднее меняться, причем даже "с закрытыми глазами", то есть, не вскрывая первых конвертов, сказать:"забираю тысячу вторых".
Соответственно, с той стороны стола меняться не выгодно, надо забрать те, которые ближе, опять же, можно не вскрывая конвертов.
Теперь возвращаемся на "эту сторону стола" и объясняем, почему меняться выгодно.
В принципе, ситуацию, когда у Вас в руках уже вскрытый конверт с обнаруженной там суммой в N долларов, и после этого подбрасыванием монетки решается, положить туда N/2 или 2N долларов, такую, и подобную ей, ситуации можно свести к азартной игре со следующими условиями.
Вы в казино, у Вас в кармане N долларов, и вы делаете ставку размером в N/2 долларов (а другие N/2 долларов оставляете себе).
Ваша ставка с вероятностью Р=1/2 (все честно!) может быть проиграна (и тогда у Вас остается в кармане только заначка размером N/2 долларов), либо, опять же с вероятностью Р=1/2, вы получаете от казино утроенную(!) ставку 3N/2 долларов и соединив ее со своей заначкой в N/2 долларов, имеете в кармане 2N долларов.
Очевидно, в такую игру играть выгодно, соответственно выгодно поменять конверты "с этой стороны стола", и не выгодно "с той стороны стола".

-- Пт янв 30, 2015 02:50:59 --

grizzly в сообщении #970462 писал(а):

Ситуация 2.
На стол выложили 1000 чемоданов. Количество денег в каждом определяли равномерно-случайным образом в интервале от 2 до N тугриков. N -- максимальное число, которое определило казино. Крупье знает N, но Вам оно неизвестно. Напротив каждого чемодана с помощью монетки положили чемодан с суммой в 2 раза большей / меньшей. Но если в чемодане было больше чем $N/2,$ напротив всегда попадал чемодан с уполовиненной суммой.
Вопрос 1. Ваша стратегия с этой стороны стола?
Вопрос 2. Ваша стратегия с той стороны стола?

Так это та же самая ситуация, что и Ситуация №1, только в масштабе 1:2 и стороны стола поменялись местами.
Теперь уже "с этой стороны стола" меняться не выгодно, зато "с той стороны стола" теперь меняться выгодно, резоны те же, что и в первой ситуации.
И все это не интересно, и ни к каким парадоксам не приводит.
/надеюсь, я нигде не накосячил?

[g______d]

grizzly в сообщении #970462 писал(а):

Число N знает крупье, но Вам оно неизвестно.

А что это значит?

Ну т. е. проблема в том, что если мы хотим рассуждать о чем-то неизвестном и получать ответ в терминах ТВ, то мы должны сделать какое-то предположение о функции распределения этого неизвестного. Если в задаче имеется "просто неизвестное натуральное число", то без дополнительной информации задачу не сделать вероятностной и, следовательно, нет способа придания смысла словам типа "выгоднее".

Разве что окажется, что ответ от распределения не зависит.

[Evgenjy]

Если сумма в конверте нечетная, меняйтесь не раздумывая.

[Lukum]

Evgenjy В данной задаче не стоит, имхо, напирать на четность суммы денег. Можно и формально верно, но ээээ как-то мелко что-ль ))

-- 30.01.2015, 09:54 --

g______d в сообщении #971013 писал(а):

Разве что окажется, что ответ от распределения не зависит.

Вот именно. Вполне возможно.

g______d в сообщении #971013 писал(а):

Если в задаче имеется "просто неизвестное натуральное число", то без дополнительной информации задачу не сделать вероятностной и, следовательно, нет способа придания смысла словам типа "выгоднее".

Может быть известна информация, что число $N$ конечно и все. И понятно, что решение может иметь зависимость от $N$. Наприме, задача.
Оценить неизвестное число $N$ - число конвертов в мешке.
Конверты все пронумерованы от $1$ до $N$.
Позволено вытащить один конверт из мешка и узнать его номер.

[grizzly]

g______d в сообщении #971013 писал(а):

Ну т. е. проблема в том, что если мы хотим рассуждать о чем-то неизвестном и получать ответ в терминах ТВ, ...
Разве что окажется, что ответ от распределения не зависит.

Я там предупредил, что рассматриваются чисто практические ситуации без ТВ. В данном случае для выбора правильной стратегии игроку достаточно знать только правило, которым пользовалось казино, но не число N. Это правило нам известно.
Ответы в этих ситуациях можно поставить в зависимость от функций распределения, но этот ответ не будет зависеть от N. Это просто понять и с математическими выкладками (это объяснялось на пару страниц выше) и без них.

Я объяснил свою позицию по тому, где вижу возникновение парадокса -- в подмене начальных условий с очевидными математическими выкладками на условия с менее очевидными, громко и настойчиво (это здесь так же важно, как в задаче с 25 рублями) требуя при этом использовать мат.модель предыдущей понятной задачи.

В приведенном мной выше примере к такому "парадоксу" приходим, если поменять местами (с вероятностью 1/2) конверты по ту и эту сторону стола. В этом случае без ТВ очевидно, что игра стала 50-50, но составить правильную мат.модель уже под силу не каждому студенту (повторюсь, и эта модель выше рассмотрена). Кстати, такая игра соответствует словесной формулировке "поменялся -- меняйся обратно".