Задача о двух конвертах

[Лукомор]

sup в сообщении #965484 писал(а):

Вот в этом месте ошибка.

Тут бы как-то определиться: у меня ошибка, или в рассуждениях игрока ошибка, который конверт открывает?!

[grizzly]

Лукомор
Раз без математики, позвольте мне побороться с Вашей интуицией.

Лукомор в сообщении #965573 писал(а):

Есть два конверта, и в них деньги, тут пока никакой вероятности нет, вполне себе детерминированная сумма денег.

"Детерминированная сумма" -- это очень важный момент: это означает, что Вы осознаёте пределы снизу и сверху. Пусть снизу это 1 пиастр, а сверху, для примера, 1 млн. пиастров. И вот если Ваш конверт в пределах от 2 до 500 тыс., всё происходит по описанной Вами схеме. А вот если меньше 2 или больше 500 тыс., то ситуация существенно меняется. Заметьте, что граница снизу (до которой ситуация меняется в пользу обмена) совсем неравноценна границе сверху (после которой ситуация поменяется в другую пользу). А в среднем со срединкой получится (интуитивно примерно) 50 на 50. Здесь уже, по моей идее, Ваша интуиция должна перестать сопротивляться :)

[Лукомор]

grizzly в сообщении #965615 писал(а):

"Детерминированная сумма" -- это очень важный момент: это означает, что Вы осознаёте пределы снизу и сверху.

Я еще много чего осознаю...
Например дискретность банкнот в конверте.
Я имею ввиду тот факт, что монеты вряд ли там будут, то есть если я открыл конверт, а там 333 доллара, то конечно я его поменяю на второй...

[sup]

Лукомор в сообщении #965611 писал(а):

Тут бы как-то определиться: у меня ошибка, или в рассуждениях игрока ошибка, который конверт открывает?!

Ошибка в оценке выигрыша/проигрыша при обмене конвертами. Ваши расчеты используют предположение о равновероятности обнаружения в соседнем конверте как $X/2$, так и $2X$. Именно это предположение и неверно. Вы же знаете старый анекдот:
-Какая вероятность встретить динозавра?
-Ну ясно, что $1/2$. Либо встречу либо не встречу.
Так и здесь. Вот я вижу в конверте некую сумму. Для примера, 4. Что может быть в другом конверте? По условию, либо 2 либо 8. А какая вероятность, что там будет 8? Ну ясно какая, либо то либо другое. Значит вероятность $1/2$. Не видите аналогии с динозавром? Вы без всякого обоснования уравниваете шансы обоих вариантов. Странно, а разве может быть не так? Конечно может быть. Пример я Вам приводил. Как только Вы попробуете обосновать свои соображения, так тут же вылезет необходимость учитывать стратегию казино. А как только Вы ее учтете (в том или ином виде), так тут же и выяснится, что обязательно найдутся случаи, в которых два варианта неравноправны, вероятности не равны $1/2$, и парадокс исчезает.

[grizzly]

Лукомор в сообщении #965628 писал(а):

Я еще много чего осознаю...

Это очень хорошо, но только если уметь отличать существенное от второстепенного. Я попытался Вам в этом помочь. Но лучше бы Вы предприняли самостоятельную попытку.

[Red_Herring]

Можно, конечно, утверждать, что sup обрезал задачу, что на самом деле м.б. так чтобы было всегда $1/2$; тогда варианты $1,2,4,8,\ldots$, а также $1/2,1/4,1/8,\ldots$ пиастров были бы равновероятны, но тогда получить сумму вероятностей $1$ было бы невозможно.

[atlakatl]

В том-то и дело, что обеспечить равновероятность

Red_Herring в сообщении #965650 писал(а):

варианты $1,2,4,8,\ldots$, а также $1/2,1/4,1/8,\ldots$

нельзя.
Т.е. метод выбора случайного числа из неограниченного в обе стороны ряда ${... 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...}$ построить можно, но этот выбор всяко не будет равновероятным.

[Лукомор]

sup в сообщении #965629 писал(а):

Ошибка в оценке выигрыша/проигрыша при обмене конвертами. Ваши расчеты используют предположение о равновероятности обнаружения в соседнем конверте как $X/2$, так и $2X$. Именно это предположение и неверно.

О, так понятнее!Только это не мои расчеты.
Я там просто привел пример общепринятых рассуждений которые и приводят к парадоксу.
Разумеется они не верные.
Я считаю так.
Есть два конверта, в одном $X$ пиастров, в другом $2X$ пиастров.
Сумма денег в двух конвертах $3X$ мат.ожидание $3/2$
Это если я не меняю конверты.
Теперь если я меняю конверты, я либо меняю $X$ на $2X$, либо меняю $2X$ на $X$
От перемены конвертов сумма денег не меняется, следовательно мат.ожидание равно по прежнему $3X/2$,
другое дело, что игроку эта величина неизвестна.
А дальше уже начинаются домыслы про то, что менять выгоднее, чем не менять.
Потому что , по хорошему, считать надо выигрыш и проигрыш не от той суммы, которую я вижу, а от мат. ожидания.
Меняя конверты, я либо меняю $M-{X/2}$ на $M+{X/2}$, либо наоборот.

[Лукомор]

grizzly в сообщении #965640 писал(а):

Это очень хорошо, но только если уметь отличать существенное от второстепенного.

Но прежде всего нужно отличать существующее от несуществующего.
Вы вскрыли конверт.
В нем 10 пиастров.
У Вас нет никакой другой информации, и эту сумму, а не миллион пиастров, нужно считать верхним пределом суммы денег, которая может оказаться в конверте. Возможность суммы вдвое большей вообще ниоткуда не следует.

[grizzly]

Лукомор в сообщении #965968 писал(а):

Но прежде всего нужно отличать существующее от несуществующего.

Это в некотором смысле верно. Замечу, что отличие существующего от несуществующего полностью определяется на момент выбора модели. Как только модель выбрана, мы можем только изучать и именовать существующее, которое определено моделью. Всё, что не определено моделью считается несуществующим (см. бритва Оккама). Поэтому для формирования подходящей мат. модели Вы должны в первую очередь отличить существенное от несущественного в пользуемой Вами модели реального мира (а уж в этой модели видеть разницу между существующим и нет -- главный приоритет, без сомнений).

Создать адекватную мат. модель, соответствующую модели реальности, Вам, имхо, не удалось, а принять одну из любезно предоставленных Вам моделей Вы не смогли или не захотели.

[Joker_vD]

Напоминает следующую шутку: король дает узнику две шкатулки и сообщает, что в одной ключ от его кандалов, а в другой — кинжал к его сердцу. На первой шкатулке написано: "Либо надписи на обеих шкатулках истинны, либо обе ложны", на второй: "В этой коробке лежит ключ". Ну, узник и прикидывает — если надпись на первой шкатулке истинна, то истинна надпись и на второй шкатулке, и там лежит ключ; если же надпись на первой шкатулке ложна, то надпись на второй шкатулке должна быть истинной, и там лежит ключ; то есть по логике ключ обязан лежать во второй шкатулке.

Ну, он и открывает вторую шкатулку, а там кинжал. "Но как же? Это же логически невозможно," — в отчаянии кричит узник, на что король спокойно отвечает: "Ну почему же? Я просто написал надписи на двух шкатулках, а затем положил в первую ключ, а во вторую — кинжал, вот и все."

[пианист]

Тред не читал, но скажу Все-таки чего-то я в этой задаче не понял, ну да и фих с ним.
Попробовал посчитать наоборот:
$\alpha \frac{x} {2} + (1-\alpha)2x=x.$
Получается
$\alpha=\frac{2}{3}$.
Смысл все равно как-то ускользает..

[atlakatl]

пианист в сообщении #969919 писал(а):

$\alpha \frac{x} {2} + (1-\alpha)2x=x.$
Получается
$\alpha=\frac{2}{3}$.

Всё правильно. Уравнение отражает факт, что меняться даже при $\alpha=\frac{2}{3}$ "не глядя" - неубыточно.
А при $\alpha=\frac{1}{2}$ ожидаемый средний доход равен аж $\frac{1}{4}x$

[Лукомор]

atlakatl в сообщении #969929 писал(а):

А при $\alpha=\frac{1}{2}$ ожидаемый средний доход равен аж $\frac{1}{4}x$

"А разве конверт уже ничего не стоит?!" (одесский анекдот).
То, что мы, вскрыв первый конверт, уже потеряли $\frac{1}{4}x$ - это на конечный результат не влияет?

[atlakatl]

Лукомор в сообщении #970015 писал(а):

То, что мы, вскрыв первый конверт, уже потеряли $\frac{1}{4}x$ - это на конечный результат не влияет?

Переформулируйте Ваш вопрос. Мне непонятно.
Речь идёт о задаче с известной функцией распределения. И попытка только одна.