Задача о двух конвертах

[g______d]

atlakatl в сообщении #964037 писал(а):

Отличия есть

Потому и не имеет.

atlakatl в сообщении #964037 писал(а):

А о классической постановке я говорю в

Я не вижу, где в этом примере с родителями Вы вообще говорите о каких-то вероятностях.

-- Сб, 17 янв 2015 22:48:50 --

atlakatl в сообщении #964002 писал(а):

При варианте _Ivana, когда игроку вручается конверт с $X$, а затем монеткой определяется, сколько денег положить в конверт для возможного обмена - $X/2$ или $2X$ - обмен действительно выгоден. Игроку даже не надо заглядывать в первый конверт, - меняйся смело.

Собственно, это вариант Red_Herring номер 1.

[atlakatl]

g______d в сообщении #964039 писал(а):

Потому и не имеет.

_Ivana сразу разделил эти варианты. Я рассмотрел их оба.
Варианты похожи, говорить "отношение не имеет" нельзя даже с очень субъективной точки зрения. И именно их параллельное рассмотрение позволяет лучше постичь суть каждого. Приём методологически часто эффективный.

g______d в сообщении #964039 писал(а):

Я не вижу, где в этом примере с родителями Вы вообще говорите о каких-то вероятностях.

Они подразумеваются:

atlakatl в сообщении #964002 писал(а):

Вряд ли родители Васе положили только $500$ рублей. А $2000$ рублей у него вполне могут оказаться... $1000$ рублей они Пете вполне могли положить. А вот про $4000$ рублей большие сомнения

Вероятности могут быть и субъективные.

Цитата:

Собственно, это вариант Red_Herring номер 1.

Да, но _Ivana озвучил его раньше.

[g______d]

atlakatl в сообщении #964041 писал(а):

Они подразумеваются:

atlakatl в сообщении #964041 писал(а):

Вероятности могут быть и субъективные.

Переведите на язык теории вероятностей и получите, скорее всего, вариант номер 2 Red_Herring (я ссылаюсь на него, поскольку точные формулировки никто больше не приводил). Если мы знаем что-то дополнительно про функцию распределения (например, количество денег у родителей), то нет ничего удивительного в том, что при некоторых вариантах чисел в конверте выгодно поменять.

[atlakatl]

g______d в сообщении #964044 писал(а):

Переведите на язык теории вероятностей и получите, скорее всего, вариант номер 2 Red_Herring

Перевожу:
Конвертополучатель считает, что в конвертах может оказаться сумма в интервале $[a; b]$. Если $X/2$ в этот интервал не входит, то выгодно меняться. Если же $2X$ в этот интервал не входит, то выгодно остаться при своих.
Вариант с родителями я привёл для большей ясности. На самом деле "мы знаем что-то дополнительно про функцию распределения" даже в варианте с казино. - Только это знание настолько завуалированно, что ситуация называется аж парадоксом.

[Red_Herring]

Поскольку вопрос о якобы парадоксе в ТВ, то и давать ответ следует в её рамках. На всякий случай:

В Варианте 1 нет ни симметрии, ни парадокса.
В Варианте 2 легко подсчитать что

$$ P(\eta =2\xi| \xi =x ) = \frac{f(x)}{f(x)+\frac{1}{2}f(\frac{x}{2})} $$

и потому $P(\eta =2\xi| \xi =x ) >\frac{1}{2}$ т и т.т.к. $}f(x)> \frac{1}{2}f(\frac{x}{2})$.

В частности, в случае равномерного распределения $\zeta$ на $(0,a)$ выгодно меняться если $x\in (0,a)$ и нет -- если $x\in (a,2a)$. При этом плотность $\xi$ равна $\frac{3}{4a}$ на $(0,a)$ и $\frac{1}{4a}$ на $x\in (a,2a)$.

[Лукомор]

Мне в этой задаче всегда был непонятен один сомнительный момент.
Пусть казино положило в один конверт некоторую сумму $X$ денег, а в другой конверт сумму $2X$ денег.
Перед игроком лежит два конверта, и он может равновероятно выбрать один из них.
В этот момент мат. ожидание суммы денег, найденной игроком в конверте равно $3X/2$.
Теперь представим, что игроков не один, а два, и каждый берет себе по конверту, и вскрывает его.
Понятно, что если оба игрока оставят себе деньги, обнаруженные ими в конверте, то в сумме они получат все те же $3X$ денег.
Однако, игрок, вскрывший конверт с суммой $X$ оценивает мат.ожидание суммы в другом конверте, как $(X/2+2X)/2=5X/4>X$
Игрок, вскрывший конверт с суммой $2X$ оценивает мат.ожидание суммы в другом конверте, как $(X+4X)/2=5X/2>2X$
Складывая две полученных оценки мат.ожидания видим, что два игрока рассчитывают получить, обменявшись конвертами, общую сумму в $5X/4+5X/2=3,75X$ денег.
Однако получат они ровно столько, сколько вложило туда казино - $3X$. А вот этот мнимый дополнительный выигрыш $(3X/4)$ - всего лишь ошибка в оценке игроком мат.ожидания.
А вот откуда берется ошибка, это уже другой вопрос, более сложный.

[Red_Herring]

Лукомор
Говорить обо всем этом можно только тогда, когда есть вероятности. В данном случае когда казино (которого вообще в задаче нет) кладет в конверт $x$ денег с известной нам вероятностью. В Вашем посте этого нет, и к ТВ (и математике вообще) он не относится.

[grizzly]

В моей практике споров на эту тему частенько помогал такой аргумент. Пусть речь идёт о практической ситуации и $X$ -- оценка сверху возможного количества денег во втором конверте (поскольку речь идёт о практической стороне вопроса, $X<\infty $). Если игрок получает в своём конверте сумму, большую чем $X/2$, то замена конверта для него невыгодна и, упрощённо говоря, проигрыш в этой ситуации с точки зрения мат.ожидания выравнивает все возможные выигрыши в других ситуациях.

[sup]

Лукомор в сообщении #965430 писал(а):

Игрок, вскрывший конверт с суммой $2X$ оценивает мат.ожидание суммы в другом конверте, как $(X+4X)/2=5X/2>2X$

Вот в этом месте ошибка.
Представим себе, что казино кладет в конверты только 2 и 4 пиастра (но никому об этом не сообщает). Условия соблюдены. Два конверта. В одном из них некая сумма. В другом - вдвое больше. Я открываю конверт, вижу 4 и пытаюсь сообразить, что будет, если в соседнем конверте 2 или 8. Но все это пустое, поскольку 8 никогда не появится. Тем не менее, я пытаюсь обменять конверт и раз за разом нахожу 2. Налицо явное противоречие прогноза и реальности. Это и означает, что прогноз построен на иллюзии. В данном случае, вероятность найти 8 при условии, что в конверте 4 НЕ РАВНА 1/2, а равна 0.
Отсюда ясно, что мои прогнозы должны как-то учитывать стратегию казино. Если это формализовать - парадокс исчезает (что уже проделал Red_Herring )

[atlakatl]

grizzly в сообщении #965467 писал(а):

Если игрок получает в своём конверте сумму большую, чем $X/2$, то замена конверта для него невыгодна

Если оценка сверху равна $X$, то невыгодность обмена возникает с суммы $(X/4+X)/2=5X/8$.

[grizzly]

atlakatl в сообщении #965495 писал(а):

grizzly в сообщении #965467 писал(а):

Если игрок получает в своём конверте сумму большую, чем $X/2$, то замена конверта для него невыгодна

Если оценка сверху равна $X$, то невыгодность обмена возникает с суммы $(X/4+X)/2=5X/8$.

Что-то я не уследил за руками. Мой аргумент предназначен только для лечения упёртой интуиции, не более. А давайте-ка посмотрим на Вашу интуицию :)
Вот Вы знаете, что в конвертах никогда не может появиться более 100 д.е.(т.е. $X=100$). Правильно ли я Вас понимаю, что получив конверт с 55 д.е. ($55< 5X/8$), Вы его тут же поменяете? Я бы с удовольствием поиграл с Вами в азартные игры :)

[atlakatl]

grizzly в сообщении #965508 писал(а):

Я бы с удовольствием поиграл с Вами в азартные игры :)

Да, был неправ.

[Lukum]

Меняться бессмысленно, поскольку мат.ожидание не увеличишь, что очевидно, Nemiroff прав.

Nemiroff в сообщении #964005 писал(а):

Поменялся? Теперь меняйся обратно, потому что выгодно. Поменялся?

+1

-- 20.01.2015, 15:25 --

Можно численный эксперимент провести за 5-10 минут в экзеле и убедиться.

-- 20.01.2015, 15:27 --

Кстати, поразмышляйте, если конверов будет $3, 4, ... 1000,..., n$
Тогда сколько раз меняться?

-- 20.01.2015, 15:30 --

И вспоминается задача о разборчивой невесте от Гусейн-Заде и еще вспоминается олигарх Березовский с той же задачей

-- 20.01.2015, 15:35 --

А еще такая вот модификация задачи. Требуется найти оптмальную оценку неизвестного конечного количества чего-либо, если вам уже попалось этого $ N$ штук.

[Лукомор]

Red_Herring в сообщении #965453 писал(а):

Говорить обо всем этом можно только тогда, когда есть вероятности. В данном случае когда казино (которого вообще в задаче нет) кладет в конверт $x$ денег с известной нам вероятностью. В Вашем посте этого нет, и к ТВ (и математике вообще) он не относится.

Да, к сожалению, не относится...
Я пока пытаюсь понять условие задачи
Ладно, забудем казино, нет его...
Есть два конверта, и в них деньги, тут пока никакой вероятности нет, вполне себе детерминированная сумма денег.
Вероятность начинается с выбора конверта.
У меня нет оснований предпочесть один конверт другому, поэтому ожидаемая сумма денег во вскрытом конверте равна $M=(X+2X)/2=3X/2$, впрочем и в другом конверте ожидаемая сумма точно такая же, поэтому меняй - не меняй конверты, результат случаен.
Дальше я пытаюсь оценить выгоду от смены конверта.
Я вижу, что в первом конверте некоторое количество денег $Y$ пиастров.
Я знаю, что во втром конверте может быть либо $Y/2$, либо $2Y$ пиастров.
При этом, если у меня в руках на самом деле $X$ пиастров, то я оцениваю ожидаемую от смены конвертов выгоду в $5X/4$ пиастра,
а если я сразу открыл $2X$ пиастров, то я уже оцениваю ожидаемую сумму в $5X/2$ пиастров.
То-есть в любом случае я рассчитываю на 25-процентную прибыль от смены конверта.
$M=(5X/4+5X/2)/2=15X/8>3X/2$.
На самом же деле, если в первом конверте у меня было $X$ пиастров, то я получу даже чуть больше, чем планировал, $2X$ вместо $5X/4$,
а если если в первом конверте у меня сразу было $2X$ пиастров, то я получу гораздо меньше, $X$ вместо $5X/2$.
В целом получаются те же самые $M=(X+2X)/2=3X/2$

[atlakatl]

Lukum в сообщении #965545 писал(а):

Требуется найти оптимальную оценку неизвестного конечного количества чего-либо, если вам уже попалось этого $ N$ штук.

Даже при известной функции распределения общего количества $f(x)\in[a;b]$ "попадание" к нам $N<a$ предметов данного множества в общем случае вообще никак не уточняет нашу оценку. Важно также знание механизма "попадания".