Матрицы Паули

[Sicker]

Так что насчет моей экспоненты?

[Munin]

Пилите, Шура, пилите...
Считайте, Sicker, считайте.

Sicker в сообщении #966618 писал(а):

вокруг оси $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}})$
на угол $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ против часовой

Вроде правдоподобно.

[Sicker]

мне нужно решить систему дифференциальных уравнений первого порядка
Там их три штуки, после упрощения получится ДУ 3-го порядка, а как его решать?
И как эту системку привести к этому ДУ

[Red_Herring]

А зачем Вам приводить систему к одному уравнению?

Когда Вы решаете такую систему Вы приводите матрицу к диагональному виду (исключая случай, который не Ваш) кода есть присоединенные собственные векторы, и тогда к жордановой нормальной форме.

[Sicker]

распишите, а то я не понял че-то

[Munin]

Sicker в сообщении #967209 писал(а):

мне нужно решить систему дифференциальных уравнений первого порядка
Там их три штуки, после упрощения получится ДУ 3-го порядка, а как его решать?

Теория линейных дифференциальных уравнений может быть найдена здесь: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0 ... 0%BC%D0%B8 или в учебнике матанализа!!!

Sicker в сообщении #967209 писал(а):

И как эту системку привести к этому ДУ

Для этого можно посмотреть на матрицу, и сказать: "я знаю, как найти собственные векторы и собственные числа этой матрицы; будем считать, что я этот алгоритм выполнил, и получил векторы такие-то: ... и соответствующие числа такие-то: ...".

Это допустимый оборот речи. Если вы на самом деле это умеете. А я ведь проверю Задам конкретную матрицу с числами, и посмотрим, как вы будете выкручиваться.

-- 23.01.2015 16:25:28 --

Red_Herring
Вы слишком добры к этому лентяю, его надо больше гонять по плацу :-)

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #967215 писал(а):

распишите, а то я не понял че-то

Если у Вас есть система $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ с постоянной матрицей $A$, у который имеется полный набор собственных векторов $\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n$ с собственными значениями—вещественными или комплексными $r_1,\ldots, r_n$ (они могут повторяться, но тогда все равно мы требуем чтобы был полный набор собственных векторов—а то придется возиться), то ее общее решение есть

$$ \mathbf{x}= C_1 e^{r_1t}\mathbf{e}_1+C_2 e^{r_2t}\mathbf{e}_2+\ldots+C_n e^{r_nt}\mathbf{e}_n $$

где $C_1,\ldots,C_n$—произвольные константы.

RTFM = Читайте учебник, корнет кадет!

[Munin]

(Оффтоп)

Red_Herring
Ну вот, взяли и разболтали :-) Имхо, до такого простого выражения полезно дойти своим умом.

[Sicker]

(Оффтоп)

Всем спасибо выступавшим в этой теме

[Red_Herring]

При решении таких систем квазиполиномы (т.е. экспонента на многочлен) возникают только при наличии присоединенных векторов, т.е. при недиагональной жордановой форме, и максимальная степень будет в точности равна размерности жордановой клетки.

[Munin]

Sicker в сообщении #967230 писал(а):

Всем спасибо выступавшим в этой теме :mrgreen:

Ты куда увиливать? А ну-ка доделывай!!!

[Sicker]

Щас, а то мне надо еще к экзамену готовиться

[Padawan]

При нахождении функции $f(A)$ от матрицы $A$ достаточно знать только её собственные значения. Достаточно найти полином $P(z)$, который на любом собственном значении $\lambda_j$ кратности $m_j$ принимает те же самые значения, что и функция $f(z)$, а также и значения производных до $m_j$-ого порядка: $P(\lambda_j)=f(\lambda_j), P'(\lambda_j)=f'(\lambda_j),\ldots,P^{(m_j)}(\lambda_j)=f^{(m_j)}(\lambda_j)$. См. интерполяционный многочлен Эрмита. Если все корни простые, то задаче упрощается -- используем интерполяционный полином Лагранжа. Тогда $f(A)=P(A)$.

На самом деле касание $P(z)$ и $f(z)$ кратности $m_j$ берется с запасом. Достаточно лишь касания такой кратности, с которой $\lambda_j$ входит в минимальный многочлен матрицы. Но для небольших матриц проще не искать минимальный многочлен, а использовать весь хар.полином.

[Sicker]

Сдал экзамен по урматам
Возвращаясь к исходному вопросу
Собственные значения для моей антисимметричной матрицы получились $\lambda_{1}=0;\lambda_{2}=i\sqrt{a^2+b^2+c^2};\lambda_{3}=-i\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

[Munin]

Где-то $i$ потерялась.