Степени в элементарной математике

[arseniiv]

Munin в сообщении #966930 писал(а):

А Mathematica не знает, что вы ей задаёте вопрос на этом "стандартно-школьном" уровне. Она старается дать ответ, как если бы вопрос был задан на более высоком уровне.

Кстати, там, вроде, был пакет, переопределяющий большинство стандартных функций, чтобы «убрать из рассмотрения» комплексные числа. Наверно, корни и аликвотные степени при его подключении тоже переопределяются… Сделан именно с целью использовать школьно.

[Aritaborian]

Насчёт пакета не знаю, но в девятой версии ввели функцию Surd; как раз по обсуждаемой теме.

Munin в сообщении #966990 писал(а):

и иногда - стилистически особенными "стеклянными" буквами

Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»? Ведь это начертание называется blackboard bold, по русски что-то вроде «полужирный мелом на доске».

[arseniiv]

Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):

Насчёт пакета не знаю

ReIm назывался, может быть. Тогда он устаревший и больше не поставляется, пишут. Хотя загрузить отдельно можно.

Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):

Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»?

Кстати, на мой вкус, неплохое!

[Aritaborian]

Точно, был такой пакет Algebra`ReIm`, но это всё быльём поросло.

[Qazed]

Munin, спасибо за подробность, но я заканчиваю старшую школу, а не начальную. И с комплексными числами я знаком (мне шёпотом на факультативе рассказывали). Меня же интересут именнно те свойства степеней, относительно которых замкнуто ("замкнуто") $\mathbb R$, дабы не рассматривать комплексные числа.

[arseniiv]

По-моему, вы смешали в один два оборота (свойства 1 выполняются на 2 и 1 замкнуто относительно функций 2).

Свойства те самые, обычные. Они же не зависят от того, какую функцию мы как обозначим.

[Munin]

Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):

Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»?

Понятия не имею, где-то вычитал. В студенческие годы я его не знал. А сейчас мне кажется, оно очень точно передаёт образ этих букв: стеклянная палочка выглядит примерно так же, прозрачная серединка и непрозрачные бока.

Qazed в сообщении #967064 писал(а):

Munin, спасибо за подробность, но я заканчиваю старшую школу, а не начальную. И с комплексными числами я знаком (мне шёпотом на факультативе рассказывали).

Ну так это замечательно! А чего ж тогда вы на ерунду ссылаетесь?

Qazed в сообщении #967064 писал(а):

Меня же интересут именнно те свойства степеней, относительно которых замкнуто ("замкнуто") $\mathbb R$, дабы не рассматривать комплексные числа.

Вот это взрослый разговор. Так бы сразу.

Но боюсь, $\mathbb{R}$ замкнуто только относительно возведения в целую степень (и то неотрицательную; $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - в произвольную целую).

Если вы попытаетесь возводить действительные числа в рациональные степени, то возникнет такая загвоздка: $\tfrac{p}{q}\equiv\tfrac{pr}{qr},$ а для определения $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ подобные дроби неэквивалентны. Например, $\sqrt[2]{(-1)^2}=+1.$

С другой стороны, $\mathbb{R}_+\equiv(0,+\infty)$ замкнуты относительно возведения в любую действительную степень.

[Qazed]

arseniiv в сообщении #967129 писал(а):

По-моему, вы смешали в один два оборота.

Действительно, несколько двусмысленно. "Свойство", --- не лучшее, что я мог бы употребить.

Munin, как только я решусь освоить материал глубже, то я обязательно создам тему с другим названием, это же пока отражает мои намерения адекватно; в любом случае, благодарю Вас за помощь.

Вопрос 4.
В контексте элементарной математики и $a^k \colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ верны ли следующие определения?

натуральный показатель

$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall k \in \mathbb N \colon a^k := \begin{cases} \prod^k a, & k > 0 \\ 1, & k = 0 \end{cases} \quad (1)$$

целый показатель

$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall k \in \mathbb Z \colon a^k := \begin{cases} a^k, & k > 0 \\ 1, & a \ne 0, \; k=0 \\ 1/a^{-k}, & a \ne 0, \; k < 0 \end{cases} \quad (2) $$

арифметический корень

$$\forall a, b \in \mathbb R_+ \quad \forall n \in \mathbb N \colon a = \sqrt[n]{b} :\Leftrightarrow a^n = b \quad (3)$$

алгебраический корень

$$\forall a, b \in \mathbb R \quad \forall n \in \mathbb N \colon a := \sqrt[n]{b} \iff a^n = b \quad (4)$$

рациональный показатель

$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall m \in \mathbb Z \quad \forall n \in \mathbb N \colon a^{m/n } := \begin{cases} \sqrt[n]{a^m}, & a > 0 \\ 0, & a=0, \; m > 0 \\ \sqrt[n]{a^m}, & a < 0, \; n = 2k+1 \; (k \in \mathbb N) \end{cases} \quad (5) $$

[Munin]

Qazed в сообщении #967294 писал(а):

В контексте элементарной математики и $a^k \colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ верны ли следующие определения?

Определения не могут быть верны или неверны. Верны или неверны могут быть утверждения, теоремы.

-- 23.01.2015 21:32:07 --

Qazed в сообщении #967294 писал(а):

Munin, как только я решусь освоить материал глубже, то я обязательно создам тему с другим названием, это же пока отражает мои намерения адекватно; в любом случае, благодарю Вас за помощь.

Я вам ответил именно на ваш вопрос, как он был задан. В чём проблема?

[Aritaborian]

(Не по теме: про кванторы и прочее)

Qazed, ей-богу, завязывали бы вы с этим буквоедством. Даже если вы собираетесь поступать на самый что ни на есть размехматовейший мехмат, далеко не каждому преподу там этакое понравится. Будьте готовы к возможным конфликтам.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Хоть режьте.
$0^0=1$

[Aritaborian]

Nemiroff в сообщении #967469 писал(а):

Хоть режьте.
$0^0=1$

Резать не буду. Просто объясните: почему именно так. (И я не утверждал, что настаиваю на обратном.)

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Aritaborian, мы уже с вами по этому несомненно важнейшему вопросу современной математики спорили.
topic80260.html
Почитал, вспомнил.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Спасибо за напоминание. Я вот не вспомнил об этом споре, каюсь.

[Qazed]

(Оффтоп)

Интереса ради: как бы Вы оформили этот вопрос?

Aritaborian в сообщении #967467 писал(а):

(Не по теме: про кванторы и прочее)

Qazed, ей-богу, завязывали бы вы с этим буквоедством. Даже если вы собираетесь поступать на самый что ни на есть размехматовейший мехмат, далеко не каждому преподу там этакое понравится. Будьте готовы к возможным конфликтам.