Степени в элементарной математике

[Brukvalub]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #945097 писал(а):

Как вообще можно понять возведение в нецелую степень? Например, вычисляем $7^{11/3}$. Что это значит? Мы три раза умножили семерку саму на себя, а потом этот результат еще умножили на кусочек семерки?

А учебники читать не пробовали? Попробуйте, вдруг получится?

[Nurzery[Rhymes]]

Brukvalub в сообщении #945108 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #945097 писал(а):

Как вообще можно понять возведение в нецелую степень? Например, вычисляем $7^{11/3}$. Что это значит? Мы три раза умножили семерку саму на себя, а потом этот результат еще умножили на кусочек семерки?

А учебники читать не пробовали? Попробуйте, вдруг получится?

Я над такой степенью задумался именно как над степенью, то есть многократному умножению числа само на себя, а не принял как запись с помощью степеней и корней. Возведение в степень и извлечение корня может быть просто способом вычислить значение, а под нецелой степенью может подразумеваться что-то совсем другое.

[Xaositect]

Под рациональной степенью не может подразумеваться ничего другого, если мы хотим сохранить свойство $a^n\cdot a^m = a^{n + m}$.

[Brukvalub]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #945114 писал(а):

Brukvalub в сообщении #945108 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #945097 писал(а):

Как вообще можно понять возведение в нецелую степень? Например, вычисляем $7^{11/3}$. Что это значит? Мы три раза умножили семерку саму на себя, а потом этот результат еще умножили на кусочек семерки?

А учебники читать не пробовали? Попробуйте, вдруг получится?

Я над такой степенью задумался именно как над степенью, то есть многократному умножению числа само на себя, а не принял как запись с помощью степеней и корней. Возведение в степень и извлечение корня может быть просто способом вычислить значение, а под нецелой степенью может подразумеваться что-то совсем другое.

Вот я и говорю: учебничек полистайте, все и пройдет, прямо как рукой снимет!

[Qazed]

Здравствуйте, в продолжение темы...

Вопрос 3.
Верно ли равенство?
$\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}$

[Ms-dos4]

Qazed
Бессмысленный какой-то вопрос. Зависит от того, что вы понимаете под кубическим корнем слева - только вещественное значение, или все три (да и собственно, то же с правой частью).

[Qazed]

Пока понимаю согласно теме: "Степени в элементарной математике"

[Ms-dos4]

Вы мне скажите, что вы понимаете под $\sqrt[3]{-1}$. Обычно под этим понимаются ВСЕ корни, вы же можете сказать, что мы так будем обозначать "арифметическое значение" корня (или как его там, сам уже не помню).

[Qazed]

Под $\sqrt[3]{-1}$ я понимаю арифметический корень $3$-й степени, те $\sqrt[3]{-1} = -1$ --- единственное значение.

[Brukvalub]

Понятно, что ответ на этот вопрос зависит исключительно от определения корня и дробной степени в конкретных учебниках. Поэтому берем в ручки набор школьных учебников, находим в них соответствующие определения и получаем ответ! По-моему - отличный выход из положения!

(Оффтоп)

Как-то в "бушующие 90-е" я, чтобы выжить, помимо мех-мата МГУ года 4 работал в одной из московских физ-мат. школ учителем математики в мат.классе. Так не было ни одной недели. чтобы с подобным вопросом ко мне не подошла бы та или иная учительница математики! Словно всю нашу среднюю школу на этой ерунде заклинило!

[Qazed]

Brukvalub в сообщении #966315 писал(а):

Понятно, что ответ на этот вопрос зависит исключительно от определения корня и дробной степени в конкретных учебниках.

А что об этом думает Математика?

[mihailm]

Qazed в сообщении #966272 писал(а):

...Верно ли равенство?
$\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}$

По современным школьным правилам нет, правая часть не определена.
Такого же мнения придерживается, кстати, maple.
В науке математике равенства тоже нет, но не по школьным основаниям, а по недоопределенности (исправлять которую смысла маловато).

[Ms-dos4]

Qazed
В Mathematica $\sqrt[3]{-1}$ это $\[{( - 1)^{\frac{1}{3}}}\]$ и (SIC!) это равно $\[\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$. Почему именно этот, я не знаю

[Qazed]

Спасибо, разобрался (надеюсь)

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #966326 писал(а):

По современным школьным правилам нет, правая часть не определена.

Заканчиваю физико-математический класс, на всех уроках математики $\sqrt[3]{-1} = (-1)^{1/3}$ и наоборот по определению. (Класс возможно несовременный или неправильный *ирония*)

mihailm в сообщении #966326 писал(а):

Такого же мнения придерживается, кстати, maple.

И Mathematica

Ms-dos4 в сообщении #966331 писал(а):

Qazed
В Mathematica $\sqrt[3]{-1}$ это $\[{( - 1)^{\frac{1}{3}}}\]$ и (SIC!) это равно $\[\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]$. Почему именно этот, я не знаю

Ms-dos4, можно для подробнее для дебилов?

[upgrade]

теперь аж спросить страшно, а чему равно $\frac{\sqrt[3]{-1}}{(-1)^{\frac{1}{3}}}$, или например $((-1)^{\frac{1}{3}})^{3}$?