2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение22.01.2015, 23:13 
Munin в сообщении #966930 писал(а):
А Mathematica не знает, что вы ей задаёте вопрос на этом "стандартно-школьном" уровне. Она старается дать ответ, как если бы вопрос был задан на более высоком уровне.
Кстати, там, вроде, был пакет, переопределяющий большинство стандартных функций, чтобы «убрать из рассмотрения» комплексные числа. Наверно, корни и аликвотные степени при его подключении тоже переопределяются… Сделан именно с целью использовать школьно.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 00:49 
Аватара пользователя
Насчёт пакета не знаю, но в девятой версии ввели функцию Surd; как раз по обсуждаемой теме.
Munin в сообщении #966990 писал(а):
и иногда - стилистически особенными "стеклянными" буквами
Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»? Ведь это начертание называется blackboard bold, по русски что-то вроде «полужирный мелом на доске».

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 01:03 
Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):
Насчёт пакета не знаю
ReIm назывался, может быть. Тогда он устаревший и больше не поставляется, пишут. Хотя загрузить отдельно можно.

Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):
Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»?
Кстати, на мой вкус, неплохое!

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 01:21 
Аватара пользователя
Точно, был такой пакет Algebra`ReIm`, но это всё быльём поросло.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 08:00 
Аватара пользователя
Munin, спасибо за подробность, но я заканчиваю старшую школу, а не начальную. И с комплексными числами я знаком (мне шёпотом на факультативе рассказывали). Меня же интересут именнно те свойства степеней, относительно которых замкнуто ("замкнуто") $\mathbb R$, дабы не рассматривать комплексные числа.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 13:03 
По-моему, вы смешали в один два оборота (свойства 1 выполняются на 2 и 1 замкнуто относительно функций 2). :-)

Свойства те самые, обычные. Они же не зависят от того, какую функцию мы как обозначим.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 14:16 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #967017 писал(а):
Любопытно, откуда вы взяли такое интересное название: «стеклянные»?

Понятия не имею, где-то вычитал. В студенческие годы я его не знал. А сейчас мне кажется, оно очень точно передаёт образ этих букв: стеклянная палочка выглядит примерно так же, прозрачная серединка и непрозрачные бока.

Qazed в сообщении #967064 писал(а):
Munin, спасибо за подробность, но я заканчиваю старшую школу, а не начальную. И с комплексными числами я знаком (мне шёпотом на факультативе рассказывали).

Ну так это замечательно! А чего ж тогда вы на ерунду ссылаетесь?

Qazed в сообщении #967064 писал(а):
Меня же интересут именнно те свойства степеней, относительно которых замкнуто ("замкнуто") $\mathbb R$, дабы не рассматривать комплексные числа.

Вот это взрослый разговор. Так бы сразу.

Но боюсь, $\mathbb{R}$ замкнуто только относительно возведения в целую степень (и то неотрицательную; $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ - в произвольную целую).

Если вы попытаетесь возводить действительные числа в рациональные степени, то возникнет такая загвоздка: $\tfrac{p}{q}\equiv\tfrac{pr}{qr},$ а для определения $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ подобные дроби неэквивалентны. Например, $\sqrt[2]{(-1)^2}=+1.$

С другой стороны, $\mathbb{R}_+\equiv(0,+\infty)$ замкнуты относительно возведения в любую действительную степень.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 18:36 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #967129 писал(а):
По-моему, вы смешали в один два оборота.
Действительно, несколько двусмысленно. "Свойство", --- не лучшее, что я мог бы употребить.

Munin, как только я решусь освоить материал глубже, то я обязательно создам тему с другим названием, это же пока отражает мои намерения адекватно; в любом случае, благодарю Вас за помощь.

Вопрос 4.
В контексте элементарной математики и $a^k \colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ верны ли следующие определения?
натуральный показатель
$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall k \in \mathbb N \colon a^k := \begin{cases} \prod^k a, & k > 0 \\ 1, & k = 0  \end{cases} \quad (1)$$
целый показатель
$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall k \in \mathbb Z \colon a^k := \begin{cases} a^k, & k > 0 \\ 1, &  a \ne 0, \; k=0 \\ 1/a^{-k}, & a \ne 0, \; k < 0 \end{cases} \quad (2) $$
арифметический корень
$$\forall a, b \in \mathbb R_+ \quad \forall n \in \mathbb N \colon a = \sqrt[n]{b} :\Leftrightarrow a^n = b \quad (3)$$
алгебраический корень
$$\forall a, b \in \mathbb R \quad \forall n \in \mathbb N \colon a := \sqrt[n]{b} \iff a^n = b \quad (4)$$
рациональный показатель
$$\forall a \in \mathbb R \quad \forall m \in \mathbb Z  \quad \forall n \in \mathbb N \colon a^{m/n } := \begin{cases} \sqrt[n]{a^m}, & a > 0 \\ 0, & a=0, \; m > 0 \\ \sqrt[n]{a^m}, & a < 0, \; n = 2k+1 \; (k \in \mathbb N) \end{cases} \quad (5) $$

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение23.01.2015, 21:29 
Аватара пользователя
Qazed в сообщении #967294 писал(а):
В контексте элементарной математики и $a^k \colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ верны ли следующие определения?

Определения не могут быть верны или неверны. Верны или неверны могут быть утверждения, теоремы.

-- 23.01.2015 21:32:07 --

Qazed в сообщении #967294 писал(а):
Munin, как только я решусь освоить материал глубже, то я обязательно создам тему с другим названием, это же пока отражает мои намерения адекватно; в любом случае, благодарю Вас за помощь.

Я вам ответил именно на ваш вопрос, как он был задан. В чём проблема?

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 00:45 
Аватара пользователя

(Не по теме: про кванторы и прочее)

Qazed, ей-богу, завязывали бы вы с этим буквоедством. Даже если вы собираетесь поступать на самый что ни на есть размехматовейший мехмат, далеко не каждому преподу там этакое понравится. Будьте готовы к возможным конфликтам.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 00:50 

(Оффтоп)

Хоть режьте.
$0^0=1$
:roll:

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 01:20 
Аватара пользователя
Nemiroff в сообщении #967469 писал(а):
Хоть режьте.
$0^0=1$
Резать не буду. Просто объясните: почему именно так. (И я не утверждал, что настаиваю на обратном.)

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 01:29 

(Оффтоп)

Aritaborian, мы уже с вами по этому несомненно важнейшему вопросу современной математики спорили. :mrgreen:
topic80260.html
Почитал, вспомнил. :roll:

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение24.01.2015, 01:38 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Спасибо за напоминание. Я вот не вспомнил об этом споре, каюсь.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение25.01.2015, 18:35 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Интереса ради: как бы Вы оформили этот вопрос?
Aritaborian в сообщении #967467 писал(а):

(Не по теме: про кванторы и прочее)

Qazed, ей-богу, завязывали бы вы с этим буквоедством. Даже если вы собираетесь поступать на самый что ни на есть размехматовейший мехмат, далеко не каждому преподу там этакое понравится. Будьте готовы к возможным конфликтам.

 
 
 [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group