Степени в элементарной математике

[upgrade]

Kras в сообщении #966370 писал(а):

Иначе $(-1)^{2/6}$ по определению можно записать как $(\sqrt[6]{-1})^2$, а это уже ни в какие рамки не лезет.

то есть для умножения $x^{1/3}\cdot x$ до $x^{4/3}$ надо область значений $x$ определять?

-- 21.01.2015, 19:56 --

так я просто $\[\frac{{\sqrt[3]{{ - 1}}}}{{{{( - 1)}^{\frac{1}{3}}}}} = 1\]$ в куб возвел и $x$ вместо $-1$ подставил

[Ms-dos4]

upgrade
Вы местами меняли степени. Нельзя.

[mihailm]

mihailm в сообщении #966369 писал(а):

...Не знаю, сейчас проведу эксперимент)

Похоже, что в качестве корня берется тот, у которого действительная часть наибольшая (при равенстве сравнивает и мнимые части)

[Ms-dos4]

mihailm
А я в справке нашёл весьма интересные строки

Power[x,y] has a branch cut discontinuity for y running from -\[Infinity] to 0 in the complex x plane for noninteger y. Because of this branch cut, Power[x,1/n] returns a complex root by default instead of the real one for negative real x and odd positive n. To obtain a real-valued n\[Null]^th root, Surd[x,n] can be used. The special case CubeRoot[x] corresponds to Surd[x,3].

[mihailm]

Про surd я знал (она так называется и в maple). Но правило выбора корня тут я не вижу.

[Ms-dos4]

mihailm
Да, это понятно. По поводу $\[{( - 1)^{\frac{1}{3}}}\]$ там даже пример есть, и сказано

The principal root is always used

[arseniiv]

Ещё на первой странице Aritaborian про principal root упоминал.

[Munin]

Qazed в сообщении #966336 писал(а):

Заканчиваю физико-математический класс, на всех уроках математики $\sqrt[3]{-1} = (-1)^{1/3}$ и наоборот по определению. (Класс возможно несовременный или неправильный *ирония*)

Ирония здесь уместна.

Дело в том, что с одной стороны, физико-математический класс мог бы дать вам знания поглубже и получше. Но с другой стороны, тогда вы не сможете сдать ЕГЭ, стандартный для всех: вы дадите более правильные ответы, а от вас там будут ждать более "стандартно-школьных". Зачем вас так заваливать? Поэтому вам вынуждены прежде всего давать "стандартно-школьную" версию, а только потом, если останется время, где-нибудь факультативно шёпотом рассказать, как там всё на самом деле.

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #966417 писал(а):

Ещё на первой странице Aritaborian про principal root упоминал.

К сожалению, Aritaborian был справедливо выкошен модераторами на некоторое время за дурное пристрастие к неподобающему стилю общения и только лишь и мог, что колотиться головой о стену, страдая от невозможности указать участникам дискуссии на своё месячной давности разъяснение про principal root ;-D

[Qazed]

Возможно я чего-то не понимаю, но, mihailm, Munin, позволю себе процитировать Е. Хорошилову (Элементарная математика [2010]):

Цитата:

Разумеется, исключительно в целях того, чтобы показать как обстоят дела со "школьной математикой", полагаю, что за 5 лет книга принципиально не устарела. Двухтомник, справедливости ради, уровня "абитуриенту МГУ" --- ни больше ни меньше (что бы это не значило).
Тогда по определению имеем: $ (-1)^{1/3} = \sqrt[3]{-1} $, так как $-1 < 0$, $3$ --- нечётное, $1$ --- целое.

mihailm, ещё раз:

Brukvalub в сообщении #966315 писал(а):

Понятно, что ответ на этот вопрос зависит исключительно от определения корня и дробной степени в конкретных учебниках.

***

mihailm в сообщении #966371 писал(а):

Qazed, мы что ли за вас учебники школьные открывать будем??? Откройте и убедитесь, что я прав

Для устранения недопониманий: я сам в состоянии взять в руки школьный учебник и убедиться, что вы не правы, касательно современных школьных правил, так как в литературе определения приводят разные.

mihailm в сообщении #966326 писал(а):

Qazed в сообщении #966272 писал(а):

...Верно ли равенство?
$\sqrt[3]{-1}=(-1)^{1/3}$

По современным школьным правилам нет, правая часть не определена.

Надеюсь, что холивара по поводу моего опуса не будет...

[Munin]

Qazed в сообщении #966916 писал(а):

Разумеется, исключительно в целях того, чтобы показать как обстоят дела со "школьной математикой", полагаю, что за 5 лет книга принципиально не устарела. Двухтомник, справедливости ради, уровня "абитуриенту МГУ" --- ни больше ни меньше (что бы это не значило).

Ну вот это и есть "стандартно-школьный" уровень.

А Mathematica не знает, что вы ей задаёте вопрос на этом "стандартно-школьном" уровне. Она старается дать ответ, как если бы вопрос был задан на более высоком уровне.

[mihailm]

Qazed, Е. Хорошилова (Элементарная математика [2010]) - это школьный учебник?

-- Чт янв 22, 2015 21:40:42 --

Что-то молчит Qazed)
Сам отвечу - это не школьный учебник. Qazed, научить определять школьные учебники?

[Qazed]

mihailm, давайте вы поучите кого-нибудь другого, напишете статью, если вам интересно; а мы прекратим этот бессмысленный разговор; полагаю, что к консерсусу мы не прийдём, а мне жалко своего времени (и ещё больше вашего).

[mihailm]

Как скажете, не буду учить

[Munin]

Qazed
Вкратце, ситуация такая.

Есть разные множества чисел. Вы про некоторые, возможно, знаете. Обозначаются они большими буквами, и иногда - стилистически особенными "стеклянными" буквами:
- $N,\mathbb{N}$ - множество натуральных чисел $1,2,3,\ldots$
- $Z,\mathbb{Z}$ - множество целых чисел $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$
- $Q,\mathbb{Q}$ - множество рациональных чисел $\dfrac{p}{q},$ где $p\in\mathbb{Z},\quad q\in\mathbb{N}$;
- $I,\mathbb{I}$ - множество иррациональных чисел - скажем, бесконечные непериодические десятичные дроби;
- $R,\mathbb{R}$ - множество действительных (или вещественных) чисел - скажем, всевозможные бесконечные десятичные дроби.
Кроме них, есть и другие числа (множества чисел, системы чисел). Не все такие числа изучаются элементарной математикой (и входят в школьную программу). Есть в том числе и комплексные числа, $C,\mathbb{C}.$ Если числа от натуральных до действительных можно изображать на одной прямой ("числовая прямая"), то комплексные числа уже образуют комплексную плоскость, а на прямую не умещаются. Но на комплексной плоскости проходит действительная прямая - это место, на которое попадают обычные действительные числа.

Комплексные числа отличаются от действительных тем, что в них у числа может быть уже не один, а несколько корней. Один из этих корней может оказаться на действительной прямой, и для него "действительный" и "комплексный" "смыслы корня" совпадают. Но другие корни оказываются в стороне от действительной прямой.

Рассказывать про всё это - довольно долго и сложно, и поэтому в школьную программу не помещается. (Когда-то давно помещалось, но с тех пор программа ухудшилась.) Вот и получается, что с одной точки зрения может быть так, что у числа нет корня, а с другой - есть корень. Или, с одной точки зрения, у числа один конкретный корень, а с другой - много корней.