2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:21 
Аватара пользователя
Здравствуйте, хочу окончательно разобраться со степенями и прошу Вас мне помочь. Спасибо
Вопрос 1.
Верно ли равенство?
$(-2)^{2/3} = \sqrt[3]{(-2)^2} = \sqrt[3]{4} $

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:25 
Нет. Нецелые степени определены только для положительных чисел.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:36 
Аватара пользователя
Mathematica вычисляет ответ, но он комплексный:
$(-2)^{2/3} \approx -0.793701 + 1.37473 i$
Значит определение есть, но какого оно?

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:39 
Аватара пользователя
Qazed в сообщении #945002 писал(а):
Значит определение есть, но какого оно?

Действительно, как'оГо...
Значит, такое "определение" зашито в Mathematica. Но оно отнюдь не общепринятое.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:45 
Аватара пользователя
Mathematica в данном случае использует вычисления в поле комплексных чисел, а в нем "все можно".

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:46 
Аватара пользователя
Brukvalub, только непонятно, как можно получить единственное значение кубического корня. Из каких соображений оно выбрано? Ведь есть еще два.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:51 
Аватара пользователя
Я бы начал с того, что сам бы залез в Mathematica и там бы нажал "Энтер".

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 17:56 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Shift+Enter ;-)
Mathematica в таких случаях выдаёт так называемый principal root.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 18:05 
Аватара пользователя
Изображение

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 18:12 
Аватара пользователя
Aritaborian уже все разъяснил.

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 18:34 
Аватара пользователя
Спасибо за ответы
Вопрос 2.
Правильно ли я понимаю, что:
1. Действительное положительное число можно возводить в любую действительную степень $$ a^x = b \qquad (a \in \mathbb R_+, \; x \in \mathbb R) $$
2. Ноль можно возводить в любую действительную положительную степень
$$ 0^x = b = 0 \qquad (x \in \mathbb R_+) $$
3. Действительное отрицательное число можно возводить в нечётную степень
$$ a^x = b \qquad (a \in \mathbb R_-, \; x = 2k+1, \; k \in \mathbb Z) $$
4. Эти пункты описывают все определённые в элементарной математике случаи возведения в степень, относительно которых замкнуто множество $\mathbb R$

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 18:39 
Аватара пользователя
3. А что, в чётную нельзя?

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 18:43 
Аватара пользователя
Aritaborian в сообщении #945041 писал(а):
3. А что, в чётную нельзя?

Пардон. Думал о корнях (не удачно), набирая сообщение.
3. Действительное отрицательное число можно возводить в любую целую степень
$$a^x = b \qquad (a \in \mathbb R_-, x \in \mathbb Z)$$

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 19:46 
Аватара пользователя
Как вообще можно понять возведение в нецелую степень? Например, вычисляем $7^{11/3}$. Что это значит? Мы три раза умножили семерку саму на себя, а потом этот результат еще умножили на кусочек семерки?

 
 
 
 Re: Степени в элементарной математике
Сообщение12.12.2014, 19:49 
Nurzery[Rhymes]
Тут то просто, возвели семёрку в 11 степень и затем взяли корень 3 степени (либо наоборот, сначала корень затем возведение).

 
 
 [ Сообщений: 75 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group