Матрицы Паули

[arseniiv]

(Formulæ.)

Sicker, сравните \hat{\sigma_1} $\hat{\sigma_1}$ и \hat\sigma_1 $\hat\sigma_1$. Вторую и набирать проще, и выглядит правильнее — \hat центрируется над одной только сигмой, а не над прямоугольником, охватывающим $\sigma_1$. Такое же бывает с \dot, \ddot и подобной «диакритикой».

[Sicker]

Munin
Спасибо, интересно)
А по поводу

Munin в сообщении #965572 писал(а):

Вот экспоненты от линейных комбинаций этого базиса и будут всевозможными матрицами поворота. Можете вывести общую формулу для них, аналогичную вашей

, пусть $h_{x}, h_{y}, h_{z}$, эти ваши матрицы, и соответственно повороты на бесконечно малый угол вокруг осей $x,y,z$ будут даваться матрицами вида $I+\delta\varphi h_{x,y,z}$, где $I$-единичная матрица
А поворот вокруг произвольной оси $(n_{x},n_{y},n_{z})$, где $n_{x}^2+n_{y}^2+n_{z}^2=1$ на бесконечно малый угол $\delta\varphi$ будет даваться выражением $I+\delta\varphi(n_{x}h_{x}+n_{y}h_{y}+n_{y}h_{z})$, это вроде называется генераторами группы Ли
И тогда поворот вокруг оси $(n_{x},n_{y},n_{z})$ будет даваться матричной экспонентой $\exp(\varphi(n_{x}h_{x}+n_{y}h_{y}+n_{y}h_{z}))$
Расчетное определение матричной экспоненты я знаю, но вот как просуммировать этот ряд, я затрудняюсь
Но там вроде вылезает косинус с антисимметричной матрицей и синус с симметричной

-- 21.01.2015, 06:48 --

вот так что ли?
$\exp(\varphi(n_{x}h_{x}+n_{y}h_{y}+n_{y}h_{z}))=I\cos(\varphi)+\sin(\varphi)(n_{x}h_{x}+n_{y}h_{y}+n_{y}h_{z})$?

[Sicker]

а не не

[Munin]

Sicker в сообщении #965972 писал(а):

это вроде называется генераторами группы Ли

У-у-у, какие вы слова знаете.

Ну признаюсь, в одном месте я "срезал угол".

-- 21.01.2015 15:35:30 --

Sicker в сообщении #965972 писал(а):

Расчетное определение матричной экспоненты я знаю, но вот как просуммировать этот ряд, я затрудняюсь

Вот зачем его дают через ряд, я не понимаю.

Мне всегда было удобнее брать его через решение дифура. $\bigl(\exp(At)\bigr)'=A\exp(At),$ начальные условия $\exp(At)|_{t=0}=I.$

[amon]

Sicker, гляньте задачку к 55 параграфу ЛЛ-3.

[Sicker]

amon
там 3 задачки)
Munin
Хорошо, попробую через диффура)

-- 21.01.2015, 16:41 --

у меня получаются три независимые системки, и я не знаю как там разделить переменные
Вот одна из них
$\frac{dx_{1}}{dt}=-ay_{1}-bz_{1}$
$\frac{dy_{1}}{dt}=ax_{1}-cz_{1}$
$\frac{dz_{1}}{dt}=bx_{1}+cy_{1}$

[Munin]

Тут надо не разделить, а подставлять. Получится дифур второго или третьего порядка.

[Sicker]

ну да, подставлять
ну да, третьего, только как его получить?

[Munin]

Берёте производную от первого уравнения. Подставляете туда $dy_1/dt$ и $dz_1/dt$ из второго и третьего. И так далее, пока не избавитесь от всех переменных, кроме одной.

[Sicker]

не получается

[Ms-dos4]

Sicker
Не получается что? Свести систему к одному уравнению? Ну во первых, это не единственный способ решения. Во вторых, что там конкретно то не получается?

[Red_Herring]

Всё усложняете! На самом деле поскольку любая кососимметричная $3\times3$–матрица эквивалентма $\begin{pmatrix} 0 &b &0\\-b&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, то достаточно рассмотреть этот случай!

[Munin]

Sicker в сообщении #966335 писал(а):

не получается

Ага! Поэтому надо вспомнить немножко wisdom-а из линейной алгебры про собственные векторы и значения матриц. Привести матрицу к собственному базису, и всё получится.

[Sicker]

а там получится уравнение третьей степени, не?

-- 22.01.2015, 04:54 --

Red_Herring
ну там вообще легко, обычный одномерный поворот получится

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #966579 писал(а):

ну там вообще легко, обычный одномерный поворот получится

А что такое одномерный поворот? Приучайтесь к точности!