Выражение 0^0

[Echo-Off]

shust писал(а):

Такая аксиоматика числовых действий существует и представлена в книге
"Общее числовое действие и некоторые его свойства" - М.: Издательство ЛКИ, 2008,
автор Шустов В.В.

Ах, как интересно. Надо будет эту книгу купить. Вот только сдам сессию...

[Nigilist]

В данной ситуации надо прежде всего определиться, что такое "0",
количественная характеритсика или одна из точек на числовой прямой?
Если первое - то рассуждения о "смысле" данного выражения "бессмыслены" : пустота она и есть пустота.
Если второе - то возведение в нулевую степень, скорее всего оставит нулевую "точку" в том же положении на числовой прямой , что и до возведения в нулевую степень, т.е.
$0^0$ = 0

[AD]

Nigilist писал(а):

надо прежде всего определиться, что такое "0",

Как это - что такое?? Определение множества действительных чисел видели в глаза? Ну, если я вам скажу, что 0 - это такая десятичная дробь: 0,0000... вы что ответите?

На самом деле мы тут определяемся, что такое "в степени". То бишь как определена функция "степень". Ну и как хотим, так и определяем.

[Nigilist]

Цитата:

На самом деле мы тут определяемся, что такое "в степени". То бишь как определена функция "степень". Ну и как хотим, так и определяем.

степень - перемножение несколько раз одного и того же числа.
Причем тут функция ?

[AD]

Перемножение - это тоже функция.

[Попов А.В.]

$ 0^0 $ "значение" функции $ x^x = e^ {x \ln x} $ в ноле. Но т.к. в ноле функция не определена, наше выражение не имеет смысла. Хотя предел конечно существует и равен 1.

[AD]

А почему мы в нуле тоже предполагаем, что $ x^x = e^ {x \ln x} $ ?

[Попов А.В.]

AD писал(а):

А почему мы в нуле тоже предполагаем, что $ x^x = e^ {x \ln x} $ ?

Прошу прощения, то что я написал ночью можно пожалуй назвать полусонным бредом.
А вообще, если вспомнить, как определяется $ a^b $, то легко определить $ 0^0 $ как $ \mathop {\lim }\limits_{0 < n \to 0} 0^n = \mathop {\lim }\limits_{0 < n \to 0} 0 = 0 $.

[AD]

Попов А.В. писал(а):

если вспомнить, как определяется $ a^b $,

Нука-нука? Как определяется? У нас ведь 0 - число рациональное, никаких пределов нету? $a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$, $0^0=0^{0/1}=\sqrt[1]{0^0}$? А на самом деле оно даже целое, поэтому просто надо умножить 0 на себя 0 раз и всё ....

А вообще, знаете, хорошая это мысль. Если мы определяем функцию $\mathrm{pow}:(x,y)\mapsto x^y:\mathbb{Q}\setminus\{0\}\times \mathbb{Q}\to\mathbb R$, а потом продолжаем по непрерывности (ведь у нас $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ по-прежнему плотно в $\mathbb{R}$), то по такому определению у нас будет $0^0=1$. Только надо с многозначностями не запутаться.

[disclaimer] Разумеется, я ничего не доказываю, и по-прежнему утверждаю, что как введем определение, так и хорошо будет[/disclaimer]

[Gordmit]

AD писал(а):

А вообще, знаете, хорошая это мысль. Если мы определяем функцию $\mathrm{pow}:(x,y)\mapsto x^y:\mathbb{Q}\setminus\{0\}\times \mathbb{Q}\to\mathbb R$, а потом продолжаем по непрерывности (ведь у нас $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ по-прежнему плотно в $\mathbb{R}$), то по такому определению у нас будет $0^0=1$. Только надо с многозначностями не запутаться.

Необязательно получится $0^0=1$. Например, если $x\to 0$, $y=\frac{1}{\ln x}\to 0$, то получится $0^0=e$

[Brukvalub]

Gordmit писал(а):

получится $0^0=e$

И тогда

\[ e^2 = (0^0 )^2 = 0^{0 \cdot 2} = 0^0 = e \]

[Gordmit]

Brukvalub писал(а):

Gordmit писал(а):

получится $0^0=e$

И тогда

\[ e^2 = (0^0 )^2 = 0^{0 \cdot 2} = 0^0 = e \]

Да, шок. Поэтому нельзя продолжать $x^y$ "по непрерывности" в точку $x=0,y=0$...

[Попов А.В.]

Как определяют степени положительных чисел?
Вначале вводят натуральную степень, затем добовляют добавляют отрицательные степени, т.е. $ \frac{1}{{a^n }} = a^{ - n} $, далее, для того чтобы все было совсем красиво, определяют: $ a^0 = a^{n - n} = \frac{{a^n }}{{a^n }} = 1 $.
Следующим шагом мы определяем дробные степени и таким образом получаем определение рациональной степени. Чтобы определить вещественную степень осталось перейти к пределам: $ a^b = \mathop {\lim }\limits_{b_i \to b} a^{b_i } $, где
$ \left\{ {b_i } \right\} $ - рациональная последовательность сходящаяся к $ b $.
Степени ноля строятся похожим образом: натуральные степени определяем также, а вот отрицательные степени не определены, т.к. ноль необратим. Таким образом определить $ 0^0 $, как мы это делали в случае положительных чисел, мы не можем.
Корни из ноля мы определяем аналогичным образом. В результате получаем определение положительной рациональной степени ноля. Но в данном случае переходя к пределам мы добавляем не только положительные вещественные степени, но и ноль.
Получаем $ 0^0 = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 0^{\frac{1}{n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } 0 = 0 $
И усе

[AD]

Цитата:

Необязательно получится $0^0=1$. Например, если $x\to 0$, $y=\frac{1}{\ln x}\to 0$, то получится $0^0=e$

Убеждает.

Попов А.В. писал(а):

далее, для того чтобы все было совсем красиво, определяют: $ a^0 = a^{n - n} = \frac{{a^n }}{{a^n }} = 1 $.

На этом этапе случай a=0 еще не рассматривается? ... да, у вас лучше получилось. Но все равно, это лишь "подтверждение естественности определения", а не доказательство.

[Попов А.В.]

AD писал(а):

На этом этапе случай a=0 еще не рассматривается? ... да, у вас лучше получилось. Но все равно, это лишь "подтверждение естественности определения", а не доказательство.

На первом этапе рассматриваются только числа строго большие ноля (как это обычно и делают).
Думаю доказательства здесь и не может быть. Исходя из обычного определения степени числа (как на первом этапе) вытянуть ничего не получится. Можно только дать корректное определение. Хотя признаюсь можно по-другому определить это число, а именно $ 0^0=1 $. Оно менее естественно, но тем не менее допустимо.