Основное состояние квантовых полей

[AlexDem]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #964173 писал(а):

Вы должны взять один "ящик", достаточно большой, чтобы охватить обе эти области.

Да, я уже понял примерно, спасибо. Когда-то давно я даже в Добеши пытался разобраться по вейвлетам, но там оказалось всё сложно.

[Red_Herring]

Ms-dos4 в сообщении #964192 писал(а):

несчётное число степеней свободы

А почему Вы считаете, что несчетное? Ведь мы же не используем произвольных функций (в смысле отображений); их никто кроме теоретико-множественников не использует! А используем такие, которые можно разложить в ряд (не обязательно же Фурье, есть ряды по функциям Эрмита и т.д. и т.п.)

Я понимаю, что это все скорее всего  pain with no gain (вон Sicker сразу притих—запугали!), т.ч. я тут исключительно из вредности

[Ms-dos4]

Red_Herring
Так у вас $\[{\vec A}\]$ - весьма произвольная функция. Ну я попробую зайти с другой стороны. Вот у нас есть уравнение $\[{\nabla ^2}\vec A = {c^{ - 2}}\partial _t^2\vec A\]$ (в кулоновской калибровке)
Но теперь трудность - нам нужно выделить полный набор "собственных функций" (в данном случае это поперечная компонента поля (продольную можно выкинуть)). Но если мы будем рассматривать это уравнение в неограниченном пространстве - спектр будет непрерывно заполнять область $\[(0, + \infty )\]$, и пронумеровать "поперечные" поля дискретным индексом не получится. Вот и что делать?

[Red_Herring]

Ms-dos4 в сообщении #964210 писал(а):

ак у вас $\[{\vec A}\]$ - весьма произвольная функция

Да весьма, но не очень. Вот если бы мы взяли совсем произвольные отображения (ну или хотя бы характеристические функции совсем произвольных множеств), то тогда бы их было жутко много.

Да, конечно, если мы высунемся во все пространство, то спектр $\Delta$ будет непрерывным. И даже абсолютно непрерывным. Ну и что в этом страшного?

[arseniiv]

Правда, а зачем нумеровать собственные функции [натуральными числами]? (Я тут позаменяю пока Sicker.)

[Ms-dos4]

(положим $\[c = 1\]$)
Ну так если бы у нас было ограниченное пространство, то мы бы просто выбрали набор (вещественных) полей $\[\{ {{\vec F}_n}\} \]$, для которых $\[({\nabla ^2} + \lambda _n^2){{\vec F}_n} = 0\]$ - где $\[{\lambda _n}\]$ - соотв. собственное значение для $\[{{\vec F}_n}\]$. Записали бы $\[\vec A = \sum\limits_k {{q_k}{{\vec F}_k}} \]$, где для этих (нормальных) координат выполняется $\[{{\ddot q}_n} + {\lambda _n}{q_n} = 0\]$. Вот и всё, получили осциллятор. А что делать, если их нельзя перенумеровать (в неограниченном пространстве число степеней свободы будет несчётным)? Я затрудняюсь провести строгие рассуждения. Как мы потом будем собственно проводить квантование в случае непрерывно бегущего индекса?

[jlecter]

Munin в сообщении #964173 писал(а):

(3) в одном смысле да, в другом смысле нет
(4) в одном смысле да, в другом смысле нет
(5) в одном смысле да, в другом смысле нет

В каком смысле да, а в каком-нет?

[Red_Herring]

Ms-dos4 в сообщении #964232 писал(а):

А что делать, если их нельзя перенумеровать (в неограниченном пространстве число степеней свободы будет несчётным)? Я затрудняюсь провести строгие рассуждения.

Да точно так же: $\ddot{q}(\mathbf{k})+\lambda (\mathbf{k})q(\mathbf{k})=0$.

Ms-dos4 в сообщении #964232 писал(а):

Как мы потом будем собственно проводить квантование в случае непрерывно бегущего индекса?

А как проводите в случае дискретного индекса?

[amon]

Red_Herring в сообщении #964200 писал(а):

А почему Вы считаете, что несчетное?

Напрягаю склероз, поэтому заранее прошу пардона за неточности.
О несчетности. Я могу в качестве базиса взять состояния с заданными числами заполнения. Тогда состоянием будет $\left\lvert\Psi\right\rangle=\left\lvert n_1,n_2,\dots n_r\dots\right\rangle,$ причем число этих $n$-ов бесконечно. Ну все, приехали - континуум. Но это не главная беда, главная беда-
Не сепарабельность получившегося пространства. Из-за этого, выбирая разные подмножества пространства состояний поля, я буду получать разные не эквивалентные физические системы. Например, выбрав только те $\left\lvert\Psi\right\rangle$ у которых отлично от нуля только конечное число $n$-ов, я получу обычное Фоковское пространство, и соответственно - Фоковский вакуум. При этом вакуумы для разных подмножеств могут оказаться разными. Как-то так.

[Ms-dos4]

Red_Herring
Ага, кажется до меня начинает доходить, как действовать по аналогии дальше в этом случае. Выберем в качестве базисных функций плоские волны, $\[\vec F(\vec k) = \frac{{{{\vec e}_\mu }}}{{\sqrt {2\lambda } }}{e^{i\vec k\vec r}}\]$ ($\[{{{\vec e}_\mu }}\]$ - ортогонален к волновому вектору и задаёт поляризацию). Введём операторы $\[\hat a(\vec k) = \frac{1}{{\sqrt {2\lambda } }}(\lambda q(\vec k) + ip(\vec k))\]$ и $\[{{\hat a}^ + }(\vec k) = \frac{1}{{\sqrt {2\lambda } }}(\lambda q - ip)\]$ с коммутационным соотношением $\[[\hat a(\vec k),{{\hat a}^ + }(\vec k')] = \delta (\vec k - \vec k')\]$ (где $\[q(\vec k) = \int {\vec F(\vec k)\vec Ad\vec r} \]$ и $\[p(\vec k) = \int {\vec F(\vec k)\dot \vec Ad\vec r} \]$ - уже определялись выше) Тогда $\[\vec A = \sum\limits_\mu {\int {\frac{{a(\vec k){{\vec e}_\mu }{e^{i\vec k\vec r}} + {a^ + }(\vec k){{\vec e}_\mu }{e^{ - i\vec k\vec r}}}}{{\sqrt {2\lambda } }}d\vec k} } \]$, а гамильтониан записывается как $\[H = \int {[{a^ + }(\vec k)a(\vec k) + \frac{1}{2}]\lambda (\vec k)d\vec k} \]$.

[Red_Herring]

Я, кажется, понимаю в чем дело: Вам хочется обязательно чтобы иметь возможность сказать, что в состоянии с индексом $\mathbf{k}$ находится столько-то частиц, в то время как если рассматривать все пространство то $\mathbf{a}e^{i\hbar^{-1}\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}$ вообще не принадлежит нашему пространству $L^2$.

Но если я правильно помню, то я видел $[\mathbf{a}^+(\mathbf{k}), \mathbf{a}(\mathbf{k'})]=\hbar \delta (\mathbf{k}-\mathbf{k'})$ и там никого не смущала континуальность. Но очевидно там не $|\Psi\rangle$ как функции заполнения (опять-таки пардон если чего-то путаю).

-- 18.01.2015, 09:25 --

Кажется, начинается сходимость к точке соприкисновения

[Munin]

jlecter в сообщении #964241 писал(а):

В каком смысле да, а в каком-нет?

Это вам надо хотя бы немножко всё-таки изучить квантовую механику.

[Cos(x-pi/2)]

Извините, если я встрял не про то, что надо; цитирую текст о квантовании полей без ящика из учебника Боголюбова и Ширкова (частично со стр. 60 и 61, а далее там и коммутаторы есть: да, с дельта функцией $\delta (\mathbf{k}-\mathbf{k'})$)

Боголюбов, Ширков "Квантовые поля" (небольшой учебник, 1980 г.)
стр. 60:

продолжение, стр. 61:

[Ms-dos4]

Red_Herring
Ну да, вот и хотелось бы как нибудь ввести сюда нормальное представление об операторе числа частиц. Т.е. из того у нас выходит, что $\[N = \int {{a^ + }(\vec k)a(\vec k)d\vec k} \]$, а $\[{a^ + }(\vec k)a(\vec k) = \Gamma (\vec k)\]$ - как бы плотность частиц с волновым вектором $\[{\vec k}\]$. Ну кое что есть, в общем то.

-- Вс янв 18, 2015 18:15:31 --

Cos(x-pi/2)
Спс, сейчас будем вкуривать

[Munin]

Фоковское представление и осцилляторное - вещи разные. Они переводятся друг в друга суммированием по индексу $s,$ но насколько это взаимно-однозначно для бесконечных или даже несчётных случаев - опять же, дело тёмное.