Вращение твердого тела

[unistudent]

Munin в сообщении #961457 писал(а):

Ну так поворот и его композиция с чем-то - это разные движения. Ну-ка, а одинаковые ли у них центры вращения?

нет, конечно не одинаковые. Но у вас было так: поворот, сдвиг, поворот, сдвиг... щас подумаю

[Munin]

(Оффтоп)

unistudent в сообщении #961487 писал(а):

щас подумаю

О! Наконец-то! Как говорится, на третий день Зоркий Сокол...

[unistudent]

Munin в сообщении #961679 писал(а):

О! Наконец-то! Как говорится, на третий день Зоркий Сокол...

Ну ладно, хватит стебаться

Пусть $T_\alpha$ означает поворот на угол $\alpha$. Рассмотрим движение плоскости $r \to T_\alpha r+s$, где $s=\vec{v}\Delta t$, a $r$ - радиус вектор точки плоскости относительно $O$. Поскольку рассматривается движение всей плоскости, то никто не мешает написать $r+\delta \to T_\alpha (r+\delta)+s$, где $\delta$ фиксированный вектор. Пусть $\delta=-T_{-\alpha}s$, тогда $r+\delta \to T_\alpha r$, или $r\to T_\alpha (r-\delta)$. Последнее означает поворот вокруг точки $O_1=O-T_{-\alpha}s$. То есть, один шаг равносилен повороту на $\alpha$ вокруг $O_1$. Я правильно рассуждаю? Если да, то вокруг чего поворачивать второй раз?

[Munin]

Начали вы неплохо, но вот это:

unistudent в сообщении #961731 писал(а):

...или $r\to T_\alpha (r-\delta)$. Последнее означает поворот вокруг точки $O_1=O-T_{-\alpha}s$.

- неверно. Сначала вам надо найти, как на самом деле выглядит поворот вокруг точки, не совпадающей с $O.$

И можно сделать ещё упражнение, которое укажет вам наглядно на ошибку. Пусть $T_\alpha$ - поворот на 0,001 радиан в положительную сторону (против часовой стрелки) системы координат $(x,y),$ а $\vec{s}=(0{,}001;0).$ Величины малые, и казалось бы, по вашим рассуждениям, расстояние между $O_1$ и $O$ тоже должно быть малым. А как на самом деле? Каков настоящий центр такого поворота?

[unistudent]

Намек на окружнось большого радиуса?.. хм, думаю дальше

[Munin]

Напоминаю чисто геометрическую задачу. Вот дано некоторое движение. Известно, что это поворот. Вы можете узнать, какая точка переходит в какую точку. Как найти, геометрическим построением, центр этого поворота? (Я вас об этом уже спрашивал, вы отмахнулись.)

[unistudent]

Да, посыл был неправильный. Так вроде должно быть ок:

$T_\alpha$ - матрица поворота на угол $\alpha$. Движение плоскости $r \to T_\alpha r+s$, где $s=\vec{v}\Delta t$, a $r$ - радиус-вектор относительно $O$. Надо найти точку $O_1=O+\delta$ такую, что
$T_\alpha r+s=\delta+T_\alpha(r-\delta)$,
т.е.
$s=\delta-T_\alpha\delta=(E-T_\alpha)\delta$,
откуда
$\delta=(E-T_\alpha)^{-1}s$.

-- 14.01.2015, 18:41 --

Munin в сообщении #962061 писал(а):

Как найти, геометрическим построением, центр этого поворота?

Ну я не настолько плох, как кажется. Для этого достаточно знать образы двух точек. Соотвественно, имеем два отрека "точка-образ". Центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к этим отрезкам.

[Oleg Zubelevich]

Утв. Предположим, что твердое тело движется так, что его угловая скорость не равна нулю. Тогда в каждый момент времени существует и при том единственная прямая ,такая, что скорости всех точек твердого тела, лежащих на этой прямой, одинаковы и направлены вдоль нее. Эта прямая параллельна вектору угловой скорости.

[Munin]

unistudent в сообщении #962143 писал(а):

$\delta=(E-T_\alpha)^{-1}s$.

У меня знак другой, но это мелочь. Наконец-то правильно. И если $E-T_\alpha$ мало, то обратное, соответственно... Можно ещё в явном виде написать двумерную матрицу поворота, и прикинуть предел $\alpha\to 0.$

unistudent в сообщении #962143 писал(а):

Ну я не настолько плох, как кажется.

Ну, впечатление вы производили угнетающее.

Так что насчёт колеса, которое катится по дороге? Где у него центр вращения в системе отсчёта, связанной с осью колеса, и где - в системе отсчёта дороги?

[unistudent]

Munin в сообщении #962217 писал(а):

Можно ещё в явном виде написать двумерную матрицу поворота, и прикинуть предел $\alpha\to 0.$

$(E-T_\alpha)^{-1} = \left(\begin{matrix} \sin\frac{\alpha}{2} & -\cos\frac{\alpha}{2} \\ \cos\frac{\alpha}{2} & \sin\frac{\alpha}{2} \end{matrix}\right)\frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$

Munin в сообщении #962217 писал(а):

Так что насчёт колеса, которое катится по дороге? Где у него центр вращения в системе отсчёта, связанной с осью колеса, и где - в системе отсчёта дороги?

С этим все понятно - ось и точка контакта с дорогой. Выше я уже говорил, что точкой вращения в СО является неподвижная в этой СО точка. Но вы почему-то отреагировали негативно. Кстати, вы попросили ответить на вопрос о последовательности композиций "поворот-сдвиг" при $\Delta t \to 0$. Один шаг сделали, что дальше? Вокруг чего поворачивать второй раз? Ну вобще можно тему закрывать, понятно о чем речь. Спасибо! Интересно было бы выяснить еще про прокручивание в стакане, но человек исчез.

[Munin]

unistudent в сообщении #962279 писал(а):

С этим все понятно - ось и точка контакта с дорогой.

Ну наконец-то!

Ну чего, займёмся трёхмерными задачами? Или ещё можно рассмотреть крутящееся колесо, которое свободно падает по вертикали.

unistudent в сообщении #962279 писал(а):

Кстати, вы попросили ответить на вопрос о последовательности композиций "поворот-сдвиг" при $\Delta t \to 0$. Один шаг сделали, что дальше? Вокруг чего поворачивать второй раз?

Колесо-то крутится вокруг той же самой оси - которая есть точка $O$ после первого движения. Отсюда можно найти общую закономерность, вокруг чего крутится тело в одной СО, если известно, вокруг чего оно крутится в другой СО.

[unistudent]

Munin в сообщении #962308 писал(а):

Ну чего, займёмся трёхмерными задачами? Или ещё можно рассмотреть крутящееся колесо, которое свободно падает по вертикали.

Я бы не сказал, что мне все абсолютна понятно, так что, если вам не в облом...
Лучше, конечно, начать с падающего колеса. Как найти мгновенную ось в неподвижной СО, используя подход с движением плоскости?

[Munin]

Дык, мы для этого уже почти всё сделали! Представим себе, что у нас есть плоскость, которая вращается непрерывно, и её центр вращения движется тоже непрерывно. То есть, мы должны записать $\alpha=\omega\,\Delta t,$ и $s=v\,\Delta t,$ и взять предел $\Delta t\to 0.$ То, что движется не вся плоскость, а только одно тело, "нарисованное" в этой плоскости (колесо), дела не меняет. Условия $v=\mathrm{const}$ у нас не наложено, как впрочем и $\omega=\mathrm{const}.$

В трёхмерном случае будет не намного сложнее, прежде всего потому, что угловая скорость тела - это 3-мерный вектор, и она не будет меняться в новой системе отсчёта (поступательно движущейся относительно старой). Просто центры вращения заменяете на оси вращения, и они останутся все параллельны друг другу (пока, подчёркиваю, новая система отсчёта не начинает вращаться относительно старой). Так что, это практически то же, что и двумерный случай, если рассматривать трёхмерный в проекции на поперечную плоскость.

[unistudent]

Итак, чтобы найти центр вращения в данной СО в произвольный момент времени, по скорости центра колеса $v$ и угловой скорости $\omega$, надо решить уравнение $[\omega, r]=v$.

-- 15.01.2015, 19:50 --

Только что заметил вот это:

Oleg Zubelevich в сообщении #962206 писал(а):

Утв. Предположим, что твердое тело движется так, что его угловая скорость не равна нулю. Тогда в каждый момент времени существует и при том единственная прямая ,такая, что скорости всех точек твердого тела, лежащих на этой прямой, одинаковы и направлены вдоль нее. Эта прямая параллельна вектору угловой скорости.

Это очень хорошая прямая, и понятно, что эта прямая не совпадает с мгновенной осью и проходит через какой-то из центров, либо центр масс, либо центр тяжести. Это верно?

[Munin]

Вообще-то именно эта прямая мгновенной осью вращения и является. А вот через какие-то центры она проходить не обязана.

-- 15.01.2015 20:42:09 --

unistudent в сообщении #962694 писал(а):

Итак, чтобы найти центр вращения в данной СО в произвольный момент времени, по скорости центра колеса $v$ и угловой скорости $\omega$, надо решить уравнение $[\omega, r]=v$.

Логично. Можете решить?