Подобные треугольники

[Kras]

Итак

Цитата:

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

С одной стороны факт, что из равенства углов следует пропорциональность сторон, ещё не доказан. С другой стороны а разве бывает иначе?

В общем это сплошное уныние. Вот ну зачем нужны такие формулировки в школе?

[maxmatem]

А что не нравится?

Цитата:

С одной стороны факт, что из равенства углов следует пропорциональность сторон, ещё не доказан

при чем тут это?

А чего доказавать то ? это определение.

[Kras]

Определения нужны для того, чтобы минимальными средствами выразить идею. Зачем нужно собирать в одну кучу равные углы и пропорциональные стороны?

Цитата:

А чего доказавать то ? это определение.

Может быть вообще нет таких пар треугольников с заданными условиями? Ну случай равенства треугольников тривиален, остальное по-хорошему надо доказывать.

[Sender]

А как бы вы сформулировали это определение?

[Kras]

Школьная версия далеко не исчерпывает всех свойств. Я бы сформулировал круче
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, стороны, высоты, медианы, биссектрисы одного пропорциональны сторонам, высотам, медианам, биссектрисам другого треугольника, а отношение их площадей равно квадрату коэффициента пропорциональности.
Нравится? Мне - нет. Заметьте, что мой вариант ничуть не хуже и не лучше того, который в учебнике.

[maxmatem]

Цитата:

Заметьте, что мой вариант ничуть не хуже и не лучше того, который в учебнике.

А Вы в школе работаете? Я работаю и скажу так, если я своим школьникам дам ваше определение то они с ума по сходят, а нормальное определение -воспринимают.

Цитата:

Может быть вообще нет таких пар треугольников с заданными условиями?

приехали.....


И может я не прав, но этой теме место в разделе Вопросы преподавания.

[TOTAL]

Kras в сообщении #961813 писал(а):

Определения нужны для того, чтобы минимальными средствами выразить идею.

Определение определяет. Минимальность средств не требуется. Излишняя для треугольников информация о пропорциональности сторон может пригодиться для представления о том, что такое пропорциональные многоугольники.

[Kras]

Цитата:

Цитата:

Может быть вообще нет таких пар треугольников с заданными условиями?

приехали.....

Ну а что, если Вас об этом спросят дети из восьмого класса?

Цитата:

если я своим школьникам дам ваше определение то они с ума по сходят

А Вы вместе с определением можете рассказать им, что тут есть такой участник TOTAL. И, по его мнению, минимальность средств не требуется.

Цитата:

Излишняя для треугольников информация о пропорциональности сторон может пригодиться для представления о том, что такое пропорциональные многоугольники.

Излишняя для треугольников информация о площадях может пригодиться для представления о том, как связаны площади подобных многоугольников. В этом плане моё определение тоже годится.

[provincialka]

Вот, например, отношение (строгого) порядка определяется как транзитивное асимметричное отношение. Но потом доказывается, что асимметричность можно заменить арефлексивностью. Так зачем же дают лишнее условие? Потому что оно дает наглядное представление об объекте.

И почему вопрос только к подобным треугольникам? Вот, например, "прямоугольник -- это параллелограмм, углы которого прямые". Зачем тут нужно писать, что параллелограмм? И действительно, далее идет задача показать, что прямизны углов достаточно.

Это вопрос методики. Чтобы понятие "ложилось" на образные представления. А корректность можно доказать потом.

[maxmatem]

Цитата:

Излишняя для треугольников информация о площадях может пригодиться для представления о том, как связаны площади подобных многоугольников. В этом плане моё определение тоже годится.

мне кажется я начинаю понимать к чему Вы.....
Итак Вы поймите одно, в школьном курсе учитель в ответе за то, чтобы учащиеся не только смогли понять определение или скажем тему, раздел.... Поэтому и вводятся определение так что бы оно было максимально наглядным , понятным. и тд.
А Вы зачем то хотите в определение сразу еще и свойства этого объекта запихнуть...

Ну что то вроде "Треугольник называется- прямоугольным если один из его углов равен 90 градусов и квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, и гипотенуза является диаметром описанной окружности этого треугольника в котором к тому же высота проведенная из вершины прямого угла.... "

мне кажется это излишне. Зачем делать простые вещи заведомо сложными и непонятными...?

[Sender]

Kras в сообщении #961852 писал(а):

Излишняя для треугольников информация о площадях может пригодиться для представления о том, как связаны площади подобных многоугольников.

В этом плане треугольники ничем не отличаются от других многоугольников.

[alexo2]

Если уж копнуть глубже, то что строго означает:
1. "углы соответственно равны"? Соответствие чем определено?
2. "сходственным сторонам"? То же самое - "сходственность" чем определена?

Например, каким образом с помощью этого определения "определить", являются ли подобными 2 неравносторонних треугольника, один из которых получен как зеркальное отражение другого (осевая симметрия)?
Или ещё "усложним" задачу, чтобы не только пытаться понять как определять "соответственно" равные углы, но и "сходственные" стороны:
один из треугольников ещё и отмасштабирован

[gris]

В общем-то и требование равенства трёх углов избыточно. Достаточно двух.
Интуитивно подобие ассоциируется с одинаковостью формы и различием в размерах. Для треугольников один из признаков достаточен, а для четырёхугольников оба необходимы. Квадрат не подобен ни ромбу, ни прямоугольнику (когда они не являются квадратами). Школьникам полезно покопаться в логических понятиях необходимости, достаточности, равносильности, признаках, свойствах. На простых фигурах тренироваться проще.
А потом будет преобразование подобия, которое определит подобие вообще любых фигур.
alexo2, у Погорелова, например, порядок вершин треугольника имеет значение, и даже равенство треугольников определяется так, что вообще говоря $\Delta ABC \ne \Delta BCA$. Вот это как раз школьникам бывает трудно усвоить.

[maxmatem]

Kras
А можно поинтересоваться, а собственно для чего вы это спрашиваете?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Вопросы преподавания»