Мощность множества всех фигур на плоскости

[Evgenjy]

Думаю, что мощность всех фигур на плоскости такая же, как у всех открытых связных множеств. Можно еще добавить ограниченных, но это дело не меняет. Если учесть, что имеется счетная база, то...

[мат-ламер]

Я встречал эту задачу, но там фигуры специфицировались. Допустим 1) Сколько на плоскости можно расположить окружностей. 2) Сколько на плоскости можно расположить окружностей одинакового радиуса. Здесь ответы тривиальные и разные. Но можно выбрать фигуру так, что задача получается не совсем тривиальной.

[grizzly]

А я уже второй день понимаю в условии "фигура на плоскости" как "плоская фигура". В этом смысле все окружности одного радиуса -- это одна фигура. Это я с чем-то общепринятым не знаком?

[provincialka]

Википедия писал(а):

Фигура — термин, формально применимый к произвольному множеству точек; тем не менее, обычно фигурой называют множества на плоскости, которые ограничены конечным числом линий.

grizzly
Вряд ли имеется в виду фигура как класс эквивалентности равных (конгруэнтных) фигур. Скорее как множество точек.

[grizzly]

Но как тогда прикажете понимать мощность множества, содержащего в качестве элементов три равных круга. Неужели 3?

[provincialka]

Почему нет? Если круги являются элементами, конечно.

[grizzly]

Последний вопрос: а если 3 одинаковых числа? я прошу извинить, но искренне не чувствую, где проходит граница и за счёт чего.

[provincialka]

А как вы понимаете равенство кругов? Как равенство множеств или как конгруэнтность? Если первое - конечно, мощность равна 1.

[Red_Herring]

Мощность множества движений $\mathfrak{c}$; т.е. вопрос факторизовать ли по ним не меняет ответа. Даже мощность множества всех борелевских множеств $\aleph$; но вот мощность множества всех множеств меры 0 уже $2^{\mathfrak{c}}$

[grizzly]

provincialka
Как равенство элементов множества. Это тогда как? Наверное, как равенство подмножеств, то есть множеств?

Ладно, я сам разберусь :) В любом случае я понимаю, что задачу можно и так и так формализовать, но что-то на этот раз в понимании самой стандартной терминологии разошёлся с остальными.

Red_Herring
Я понимаю, что ответ не зависит (в, скорее всего, предполагаемой формулировке). Просто хотел прояснить для себя.

[Bacon]

grizzly
Прощу извинить, но для тех кто в танке (я) , разве три одинаковых круга или три одинаковых числа будут составлять множество? Ведь во множестве должны быть разные элементы. А если это не множество как можно говорить о его мощности?

[provincialka]

Bacon
Тут важно, что считать равными кругами. Круги одинакового радиуса, но с разными центрами: равны они или нет?

[grizzly]

Bacon
Я именно из этих соображений свои вопросы тоже задавал. Но это ведь скорее к Вам вопросы, как к постановщику задачи :)
Можно ведь и одинаковые круги в одно множество всунуть, только нужно их тогда сначала различить (например, координатами центра после задания декартовых координат). Вот я и хотел понять, что именно Вы имели в виду в вопросе.

provincialka о том же. Она Вам намного лучше объяснит, я больше не буду вмешиваться, а то только запутаю.

[Yhn112]

Господа, вы не находите, что дискуссиями о вещах, имеющих лишь косвенное отношение к изначальному вопросу вы отпугнули ТС от этой темы?
Дабы призвать ТС к продолжению решения данной задачи, даю в явном виде подсказку, мелькавшую уже в нескольких сообщениях: ответ, предположенный в начальном посте - неверен. А также не менее явно привожу два возможных пути к нахождению оценки мощности сверху:
1) Сказать, что фигура это уж точно замкнутое множество и найти мощность множества всех замкнутых подмножеств $ \mathbb R^2$.
2) Таки взять определение понятия "фигура", пусть "множество точек на плоскости, которое ограниченно конечным числом линий", и дальше либо воспользоваться фактом, упомянутым g______d, либо просто сказать, что фигуру в интуитивном понимании можно представить как область плоскости, ограниченную конечным числом непрерывных (или даже монотонных) функций (Да, их потредуется больше чем "линий", но можно же!:) и дальше в лоб считать мощность множества таких "фигур".

[Bacon]

Yhn112
Не то что бы отпугнули Просто я понял, что каждый под фигурой на плоскости понимает нечто в меру своей математической распущенности, я человек скромный, поэтому буду понимать любое подмножество плоскости.