Интеграл от модуля гауссовой кривизны

[Metford]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, понять, где я ошибаюсь в расчёте. Расчёт сам по себе простой, даже как-то неудобно спрашивать...
Вычисляется интеграл от модуля гауссовой кривизны тора $T^2$ по его поверхности.
Я использую параметризацию

$$\vec{r}(u,v)=\{(a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u\}.$$

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм получаются

$$g_{uu}=b^2;g_{vv}=(a+b\cos u)^2;g_{uv}=0,$$

$$b_{uu}=b;b_{vv}=(a+b\cos u)\cos u;b_{uv}=0.$$

Элемент поверхности $dS=\sqrt{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}dudv$, гауссова кривизна $K=\frac{b_{uu}b_{vv}-b^2_{uv}}{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}$.

$$\iint|K|dS=\iint\left|\frac{b_{uu}b_{vv}-b^2_{uv}}{\sqrt{g_{uu}g_{vv}-g^2_{uv}}}\right|dudv= \iint\left|\frac{b(a+b\cos u)\cos u}{\sqrt{b^2(a+b\cos u)^2}}\right|dudv=\int\limits_0^{2\pi}dv\int\limits_0^{2\pi}|\cos u|du=8\pi.$$

Подскажите, что не так?

[Утундрий]

Чем, собственно, не устраивает результат?

[Metford]

Видите ли, я знаю, что иногда делаю в вычислениях довольно примитивные ошибки - по невнимательности.
Интеграл этот мне встретился в задачнике по дифференциальной геометрии. В ответе там $4\pi$ (в двух изданиях разных лет).
Засомневался, решил уточнить: вдруг это я ошибаюсь.

[Утундрий]

В условии задачи точно говорится о гауссовой, а не о скалярной кривизне?

[Metford]

О гауссовой. Об этом я уже думал.

[Утундрий]

Посчитал на всякий случай $\int \sqrt g {\left| R \right| dudv} $, получил $16 \pi$.

[Metford]

Так как скалярная кривизна вдвое больше гауссовой, то фактически получилось то же самое.
Ну что же, два независимых расчёта - это уже неплохо

Спасибо Вам!

[alcoholist]

а можно и без расчетов через гауссово отображение (его якобиан равен гауссовой кривизне)
должно получится две площади сферы, то есть $8\pi$

[Metford]

Интересно.
Думаю, что задам тривиальный вопрос, но дифференциальной геометрии как отдельного предмета у меня не было, к сожалению...

Вы говорите, что это без расчёта можно сказать. Если я правильно понимаю, гауссово отображение ставит в соответствие каждой точке данной поверхности точку на сфере. Т.е. по крайней мере нужно построить в каждой точке поверхности единичную нормаль - это уже расчёт. Несложный, конечно, но тем не менее. А потом якобиан считать. Как это связано с площадью сферы?
Нет, какие-то полуинтуитивные соображения есть, но я их лучше даже высказывать не стану.

Хотелось бы разобраться, раз уж занялся этим вопросом.

[lek]

Metford в сообщении #958148 писал(а):

Здравствуйте!
Я использую параметризацию

$$\vec{r}(u,v)=\{(a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u\}.$$

Подскажите, что не так?

Параметр $u\in[0,\pi]$. В противном случае поле $\vec{r}(u,v)$ определено неоднозначно. (Обратите внимание на то, что при $a=0$ и $b=1$ конец вектора пробегает единичную сферу.)

[Утундрий]

lek в сообщении #958686 писал(а):

Параметр $u\in[0,\pi]$. В противном случае поле $\vec{r}(u,v)$ определено неоднозначно.

Ничего подобного.

[lek]

Утундрий в сообщении #958692 писал(а):

Ничего подобного.

Это связано с тем, что $a\ne0$ ?

[Утундрий]

Добавил картинку.

[lek]

Согласен.

[VanD]

Metford в сообщении #958658 писал(а):

Как это связано с площадью сферы?

Посмотрите теорему Гаусса-Бонне. Фактически гауссова кривизна есть коэффициент пропорциональности между формой объема удовлетворяющей условиям теоремы поверхности (двумерная, связная, компактная, без края, ориентируемая) и результата действия кодифференциала гауссова отображения на форму объема сферы.

Там довольно много всего придётся разобрать - про степень отображения. Хотя может быть можно и без неё.