Четная функция

[fronnya]

Условие такое: показать, что для непрерывной на $[-l;l]$ функции имеем:

$$\int\limits_{-l}^{l} f(x)dx=2\int\limits_0^l f(x)dx$$

Если она четная
Разобью данный интеграл на два:

$$\int_{l}^{-l} f(x)dx=\int\limits_{-l}^0 f(x)dx+\int\limits_0^l f(x)dx$$

Значит, нужно показать

$$\int\limits_{-l}^0 f(x)dx=\int\limits_0^l f(x)dx$$

Пусть $\Phi(x)$- первообразная функции $f(x)$, тогда

$$\int\limits_{-l}^{0}f(x)dx=\Phi(0)-\Phi(-l)=\Phi(0)-\Phi (l)$$

С другой стороны

$$\int\limits_0^l f(x)dx=\Phi(l)-\Phi(0)$$

Не получается у меня это показать.

[maxmatem]

Можно воспользоваться симметричностью четной функции относительно оси ординат

[gris]

может быть, замену сделать в одном из интегралов?

[fronnya]

gris в сообщении #957941 писал(а):

может быть, замену сделать в одном из интегралов?

Замену вот такую? $f(-x)=f(x)$?

[maxmatem]

Ну и замена.... Это определение четной функции

[gris]

Замену переменной интегрирования. Вроде $y=-x$.

[fronnya]

Спасибо.

[provincialka]

fronnya
А вы поняли, почему рассуждение с первообразной нежелательно? Например, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует. А только у непрерывной.

[gris]

Так вот зачем в условии дана непрерывность. Но в рассуждениях с первообразной есть ошибка: у чётной функции она вовсе не чётна. Среди них даже можно выбрать нечётную. Но это же тоже нужно доказывать.

[Sicker]

provincialka в сообщении #957960 писал(а):

апример, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует.

приведите пример

provincialka в сообщении #957960 писал(а):

А только у непрерывной.

а вот у функции хевисайда она есть

[provincialka]

Sicker
Тут вопрос в определениях. Конечно, есть первообразная в обобщенном смысле, как непрерывная кусочно дифференцируемая функция. Но в точном смысле превообразная - это функция $F(x)$, производная которой равна подынтегральной функции. То есть она должна быть дифференцируема. Соответственно, производная такой функции либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода, в частности, неограничена.

В этом точном смысле у функции $\operatorname{sgn} x$ на отрезке $[-1;1]$ первообразной нет.
Но еще раз повторюсь, это вопрос соглашения.

[Sicker]

ну да, точно

[fronnya]

provincialka в сообщении #957960 писал(а):

fronnya
А вы поняли, почему рассуждение с первообразной нежелательно? Например, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует. А только у непрерывной.

Кстати, ещё вопрос, если функция четная, то её первообразная обязательно должна быть четной?

[provincialka]

fronnya в сообщении #957991 писал(а):

вопрос, если функция четная, то её первообразная обязательно должна быть четной?

Уж скорее, нечетной! Правда, с точностью до константы. Подумайте, почему.

[fronnya]

Например, $y=x^2$- четная, $\Phi=x^3/3$ и она нечетна. Значит, рассуждение с первообразными вообще неудачно

-- 07.01.2015, 16:13 --

Стоп.Если $f(x)$- четная, то $\int\limits_{-l}^0 f(x)dx=\Phi(0)-\Phi (-l)=\Phi(0)+\Phi(l)$.