Четная функция

[Sicker]

а разве это не производная?

[provincialka]

Sicker
В особых точках производную так не вычисляют. Надо по определению.

[Red_Herring]

Terraniux в сообщении #958057 писал(а):

Интеграл не сходится абсолютно $\Rightarrow$ не интегрируема.

Не заметил, что Вы имеете ввиду не $x^2\sin (1/x)$ а ее производную. Mille pardons!

[Terraniux]

Sicker
provincialka указала Вам на то, что в нуле производную функции $x\sin\dfrac{1}{x}$ нельзя считать по Вашей формуле. При этом, она существует и равна $0$.
А функция $\sin\dfrac{1}{x}-\dfrac{\sin\tfrac{1}{x}}{x}$ не интегрируема на промежутках, содержащих $0$, так как интеграл $\displaystyle\int\limits_0^{\varepsilon}\dfrac{\sin\tfrac{1}{x}}{x}dx$ расходится.
Red_Herring, я исправил пример. Тот, действительно, был неверен. Конечно, $\sin\dfrac{1}{x} $ интегрируем по критерию Лебега, и даже не является несобственным.
Но этот верен.

[provincialka]

Люди! Давайте прекращать оффтоп! Куда нас заносит ...

-- 07.01.2015, 18:53 --

Terraniux в сообщении #958075 писал(а):

в нуле производную функции $x\sin\dfrac{1}{x}$ нельзя считать по Вашей формуле. При этом, она существует и равна $0$.

Разве? У меня так не получилось. Эта функция только непрерывна в 0.

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Народная мудрость писал(а):

Если нельзя, но очень хочется—то можно

На самом деле история математики в значительной мере следует этой мудрости. Кроме интеграла по Лебегу есть несобственные интегралы, интегралы в смысле главного значения, интеграл Данжуа-Перрона, первообразные в смысле обобщенных функций. Но при этом следует четко понимать, в рамках каких определений мы находимся. А то есть такие определения решений, что каждое линейное УЧП разрешимо, но нашему народу такие решения не нужны!

[Terraniux]

provincialka
Действительно. Поторопился малость.
$f(x) = x^2\sin\dfrac{1}{x^2}$. Ее производная в нуле - $0$.
Но ее производная $2x\sin\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{\sin\tfrac{1}{x^2}}{x}$ не интегрируема, т.к. интеграл $\displaystyle\int\limits_0^{\varepsilon}\dfrac{\sin\tfrac{1}{x^2}}{x}dx$ расходится.