Четная функция

[Sicker]

provincialka
а если мы у функции хевисайда выколем точку $x=0$
Тогда она будет и интегрируемой и иметь первообразную

[provincialka]

fronnya
Лучше наоборот, из свойства интеграла от четной функции вывести свойство ее первообразной. Потому что первообразную (одну из) можно считать как интеграл с переменным верхним пределом.

-- 07.01.2015, 17:21 --

Sicker в сообщении #957996 писал(а):

provincialka
а если мы у функции хевисайда выколем точку $x=0$
Тогда она будет и интегрируемой и иметь первообразную

На каком промежутке? На двух разных - две независимые первообразные.
Ну ладно, это уже начетничество. В задаче ТС-а более важно, что свойства этой первообразной по сути неизвестны и доказываются через интеграл.

[fronnya]

provincialka в сообщении #957997 писал(а):

fronnya
Лучше наоборот, из свойства интеграла от четной функции вывести свойство ее первообразной. Потому что первообразную (одну из) можно считать как интеграл с переменным верхним пределом.

Я не могу этого сделать, ведь в задании мне сказано, фактически и подтвердить это самое свойство интеграла от четной функции.

[provincialka]

Да я не про задание. Задание, вроде, уже решили. Или нет?
Я про следствия из него.
Ладно, разговор уже куда-то сворачивается, в непонятный клубок. Решайте следующие задачи. Сколько их там у вас осталось из 39.

[Munin]

Полезно запомнить для себя, что взятие производной меняет чётность и нечётность местами.

[Sicker]

а можно вот так же вот
если функция $f(x)$ четная, то ее первообразная имеет вид $F(x)+C$, где $F(x)$-нечетная функция
тогда $2\int_{-l}^{0} f(x)dx=2F(0)+2C-2F(-l)-2C=2F(0)-2F(-l)$
$\int_{-l}^{l} f(x)dx=F(l)+C-F(-l)-C=F(l)-F(-l)$
$F(0)=0$
$-2F(-l)=F(l)-F(-l)$
$-F(-l)=F(l)$
чтд

[Terraniux]

Sicker

(Оффтоп)

В порядке оффтопа, обратный пример.
Производная функции $x\sin \dfrac{1}{x}$ имеет первообразную, но не интегрируема на промежутках, содержащих $0$.

[Sicker]

(Оффтоп)

почему, интегрируема

[Terraniux]

(Оффтоп)

Исправил :-)

[provincialka]

Sicker в сообщении #958032 писал(а):

если функция $f(x)$ четная, то ее первообразная имеет вид $F(x)+C$, где $F(x)$-нечетная функция

Откуда знаете? Вернее, откуда ТС знает?
Как раз это свойство легко доказывается из свойств интеграла. Может, можно и по-другому, но муторно.

[Red_Herring]

(Terraniux)

Не упорствуйте в ереси

[Sicker]

(Оффтоп)

ну, она в принципе тоже интегрируема, если интегрируемость понимать как что если можно выколоть конечное или счетное число точек, и полученная функция будет интегрируема, значит и исходная интегрируема
И вы намекаете, что производная вашей функции в нуле не существует?

[Terraniux]

Sicker в сообщении #958056 писал(а):

(Оффтоп)

ну, она в принципе тоже интегрируема, если интегрируемость понимать как что если можно выколоть конечное или счетное число точек, и полученная функция будет интегрируема, значит и исходная интегрируема
И вы намекаете, что производная вашей функции в нуле не существует?

Производная функции в нуле существует. Интеграл не сходится абсолютно $\Rightarrow$ не интегрируема.
Red_Herring
И в чем же ересь?

[Sicker]

Terraniux в сообщении #958057 писал(а):

Производная функции в нуле существует.

существует?$\sin({\frac{1}{x})-\frac{\sin(\frac{1}{x})}{x}$

[Terraniux]

Sicker в сообщении #958062 писал(а):

Terraniux в сообщении #958057 писал(а):

Производная функции в нуле существует.

существует?$\sin({\frac{1}{x})-\frac{\sin(\frac{1}{x})}{x}$

Существует. Но не предел вашего выражения.