2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:29 
Аватара пользователя
Условие такое: показать, что для непрерывной на $[-l;l]$ функции имеем:$$\int\limits_{-l}^{l} f(x)dx=2\int\limits_0^l f(x)dx$$ Если она четная
Разобью данный интеграл на два:
$$\int_{l}^{-l} f(x)dx=\int\limits_{-l}^0 f(x)dx+\int\limits_0^l f(x)dx$$ Значит, нужно показать $$\int\limits_{-l}^0 f(x)dx=\int\limits_0^l f(x)dx$$
Пусть $\Phi(x)$- первообразная функции $f(x)$, тогда $$\int\limits_{-l}^{0}f(x)dx=\Phi(0)-\Phi(-l)=\Phi(0)-\Phi (l)$$
С другой стороны $$\int\limits_0^l f(x)dx=\Phi(l)-\Phi(0)$$ Не получается у меня это показать.

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:32 
Аватара пользователя
Можно воспользоваться симметричностью четной функции относительно оси ординат

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:33 
Аватара пользователя
может быть, замену сделать в одном из интегралов?

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:35 
Аватара пользователя
gris в сообщении #957941 писал(а):
может быть, замену сделать в одном из интегралов?

Замену вот такую? $f(-x)=f(x)$?

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:36 
Аватара пользователя
Ну и замена.... Это определение четной функции

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:36 
Аватара пользователя
Замену переменной интегрирования. Вроде $y=-x$.

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 15:40 
Аватара пользователя
Спасибо.

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:13 
Аватара пользователя
fronnya
А вы поняли, почему рассуждение с первообразной нежелательно? Например, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует. А только у непрерывной.

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:16 
Аватара пользователя
Так вот зачем в условии дана непрерывность. Но в рассуждениях с первообразной есть ошибка: у чётной функции она вовсе не чётна. Среди них даже можно выбрать нечётную. Но это же тоже нужно доказывать.

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:42 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #957960 писал(а):
апример, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует.

приведите пример :-)
provincialka в сообщении #957960 писал(а):
А только у непрерывной.

а вот у функции хевисайда она есть :-)

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 16:52 
Аватара пользователя
Sicker
Тут вопрос в определениях. Конечно, есть первообразная в обобщенном смысле, как непрерывная кусочно дифференцируемая функция. Но в точном смысле превообразная - это функция $F(x)$, производная которой равна подынтегральной функции. То есть она должна быть дифференцируема. Соответственно, производная такой функции либо непрерывна, либо имеет разрыв второго рода, в частности, неограничена.

В этом точном смысле у функции $\operatorname{sgn} x$ на отрезке $[-1;1]$ первообразной нет.
Но еще раз повторюсь, это вопрос соглашения.

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:00 
Аватара пользователя
ну да, точно :-)

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:06 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #957960 писал(а):
fronnya
А вы поняли, почему рассуждение с первообразной нежелательно? Например, потому, что не у всякой интергрируемой функции она существует. А только у непрерывной.

Кстати, ещё вопрос, если функция четная, то её первообразная обязательно должна быть четной?

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:08 
Аватара пользователя
fronnya в сообщении #957991 писал(а):
вопрос, если функция четная, то её первообразная обязательно должна быть четной?

Уж скорее, нечетной! Правда, с точностью до константы. Подумайте, почему.

 
 
 
 Re: Четная функция
Сообщение07.01.2015, 17:08 
Аватара пользователя
Например, $y=x^2$- четная, $\Phi=x^3/3$ и она нечетна. Значит, рассуждение с первообразными вообще неудачно

-- 07.01.2015, 16:13 --

Стоп.Если $f(x)$- четная, то $\int\limits_{-l}^0 f(x)dx=\Phi(0)-\Phi (-l)=\Phi(0)+\Phi(l)$.

 
 
 [ Сообщений: 37 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group