Доказательство алгебраичности числа

[Otta]

Так, понил. Вы еще не нарешались самостоятельно. А онлайн телепатировать мысли Вам как-то не радостно. Порешайте еще. Частный случай порешайте. Общий не надо пока.

[maximk]

Аналогично выводится через формулу Муавра, что $\cos nx=\cos^n x$, тогда отсюда и следует рациональность $\cos p\pi/q=\cos (p/q)\pi $.

[Otta]

maximk в сообщении #957147 писал(а):

Аналогично выводится через формулу Муавра, что $\cos nx=\cos^n x$

Не выводится. :(

maximk в сообщении #957147 писал(а):

тогда отсюда и следует рациональность $\cos p\pi/q=\cos (p/q)\pi $.

И тем более не следует.

[ex-math]

Вы очень торопитесь. Вот начали с $\pi/5$. Зачем там у Вас $q$? Разве оно не равно $5$? Перепишите. Про косинус уже говорили, что надо пользоваться основным тригонометрическим тождеством.
Когда будете рассматривать общий случай, пользуйтесь обозначением суммы $\sum$ и биномиальных коэффициентов $C_n^k$. Это сократит запись и сделает ее обозримой.

[maximk]

Не, ребят. Можно закрыть тему, спасибо вам за помощь, но задачу я закинул. Бывает такое, что просто не видишь элементарное решение, приходится сидеть над задачей часов по 5 в то время, как можно взяться за задачу через какой-то определенный промежуток времени, и решение сразу увидится, когда будешь готов.

[provincialka]

Не вижу, зачем мучаться с косинусом, если синус уже изучен? (и наоборот).
Ведь $\cos \frac{p}{q}\pi=\sin\left(\frac\pi2-\frac{p\pi}{q} \right) = \sin\frac{(q-2p)}{2q}\pi$

[nnosipov]

provincialka в сообщении #957258 писал(а):

Не вижу, зачем мучаться с косинусом

С косинусом как раз мучений меньше (вспомним про многочлены Чебышёва), а синус капризен, только нечётные степени ему подавай.

[type2b]

рассмотрим периодическую цепочку из одинаковых пружин и грузов. Частоты ее колебаний находятся из алгебраического уравнения на собственные значения соответствующей матрицы. С другой стороны, подставим анзатц плоских волн и увидим, что те же частоты даются синусами рациональных чисел со знаменателем, равным числу грузов. Ч.т.д.

[provincialka]

nnosipov в сообщении #957263 писал(а):

С косинусом как раз мучений меньше

Я на это намекала:

provincialka в сообщении #957258 писал(а):

(и наоборот)

Но ведь синус уже исследован.

[nnosipov]

provincialka в сообщении #957804 писал(а):

Но ведь синус уже исследован.

Не вижу. По-моему, ТС не справился с этой задачей.