2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 20:43 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Cos(x-pi/2) в сообщении #957541 писал(а):
и заменяем оператор $(-i \nabla)$, который теперь имеет смысл лишь "обобщённого импульса", удлинённым оператором $\hat {\mathbf{p}}$, который, по определению, имеет смысл "настоящего" (кинематического) импульса:

$\hat {\mathbf{p}}=-i \nabla - (\nabla \gamma)$ .

вот это не понял, с какого перепугу мы вводим новый оператор импульса, когда есть аж два старых?(обычный и с добавкой векторного потенциала)

-- 06.01.2015, 20:43 --

и почему вы обычный импульс назвали обобщенным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Sicker в сообщении #957546 писал(а):
обычный и с добавкой векторного потенциала

Вернемся к классике. Если $x$—обобщенные (они же обычные) координаты, то при указанном Вам лагранжиане (а) как связаны обобщенный импульс и скорость (б) чему равен обычный импульс (в) как записывается гамильтониан?

При квантовании обобщенная координата $\mathbf{x}$ переходит в оператор $\hat{\mathbf{x}}$ умножения на $\mathbf{x}$, а обобщенный импульс $\mathbf{p}$—в оператор обобщенного импульса $\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:04 
Заслуженный участник


29/09/14
1248
Sicker в сообщении #957546 писал(а):
с какого перепугу мы вводим новый оператор импульса, когда есть аж два старых?(обычный и с добавкой векторного потенциала)

В том примере нету двух. Сначала постарайтесь разобраться с самой идеей "калибровочной инвариантности" в том простейшем примере.

Идея вот в чём. КвМ учит нас, что волновую функцию $\Psi$ прибором не измерить ни в каком опыте, а можно с опытом сравнивать только её квадрат модуля $| \Psi|^2$ (или квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям какого-либо "оператора физической величины", например импульса). Поскольку математика говорит, что всегда можно записать волновую функцию в виде $\Psi =| \Psi|e^{i\alpha}$, то отсюда следует, что фаза $\alpha$ волновой функции принципиально не наблюдаема.

Значит, если прибавлять к фазе волновой функции произвольную функцию координат и времени $\gamma$, то это не должно влиять на распределения вероятностей и средние значения наблюдаемых физических величин. Такова идея. Но чтобы она воплотилась в жизнь, надо соответствующим образом определять операторы физ. величин, "правильно" их определять. Как же нам узнать правильное определение?

Вот, я Вам и предложил начать с простейшего примера. Пусть у нас есть обычное у. Ш. свободной частицы, т.е. без потенциалов - в нём потенциалы равны нулю:

$i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla)^2}{2m} \Psi$

Пусть здесь $\Psi$ есть решение; так что, это ур-е превратилось в верное равенство. Теперь мы берём и своими руками "портим" решение этого уравнения - умножаем его на фазовый множитель $e^{i \gamma}$ с произвольной ф-ей $\gamma$. Потому что считаем, что новая функция $\Phi = e^{i \gamma} \Psi$ обязана описывать прежнюю физику, раз уж фаза не наблюдаема. Но тогда как нам быть с прежним уравнением Шредингера - ведь $\Phi$ ему уже не удовлетворяет! А ничего страшного, говорим мы, надо изменить у.Ш. так, чтобы $\Phi$ стала решением изменённого уравнения у. Ш., и чтобы дальнейшие произвольные преобразования фазы волновой функции больше не меняли бы структуру изменённого ур-я Ш.

Вот такая идея. Если назвать произвольные добавки к фазе "калибровочными преобразованиями", то мы, значит, хотим иметь такое у. Ш., которое форм-инвариантно при калибровочных пр-ях.

Чтобы найти такое форм-инвариантное ур-е Ш, мы просто подставим в наше исходное у.Ш. свободной частицы его заведомое решение $\Psi = e^{-i \gamma} \Phi$. Проделайте эту подстановку; получите вот что (для простоты я здесь везде расписываю случай с не зависящей от времени калибровочной функцией $\gamma,$ а Вы сделайте такое же упражнение с зависящей ещё и от $t$):

$i\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla -(\nabla \gamma))^2}{2m} \Phi$ .

Ну вот, теперь ясно, как должно выглядеть калибровочно-инвариантное у. Ш.: надо вместо $(-i \nabla)$ писать в нём $(-i\nabla - \mathbf{A})$, где мы ввели в дело новое векторное поле $\mathbf{A}$, и требуем по определению, что при калибровочном преобразовании волновой функции это поле тоже нужно преобразовывать: заменять его на $\mathbf{A}+\nabla \gamma$. Такие преобразования образуют группу (это легко понять заметив, что два преобразования, 1-ое и 2-е, эквивалентны одному с калибровочной ф-ей $\gamma = {\gamma}_1 + {\gamma}_2$)

Тогда получается, что случай свободной частицы это случай, когда $\mathbf{A}$ равно нулю или равно градиенту какой-либо произвольной функции. А если $\mathbf{A}$ не сводится к градиенту скалярного поля, то его не удастся устранить калибровочным преобразованием, и, значит, это уже не свободная частица, а частица в некоем внешнем поле.

Физ. смысл такого поля $\mathbf{A}$ дальше можно выяснить, рассмотрев коммутатор операторов координаты с новым гамильтонианом (т.е. оператор скорости частицы), и коммутатор оператора скорости с гамильтонианом (оператор ускорения). Такое упражнение показывает, что получается операторный аналог "уранения Ньютона" с силой, ну прям очень похожей на силу Лоренца (т.е. туда входит векторное произведение скорости и ротора поля $\mathbf{A}$)! Это и является для нас основанием считать, что $\mathbf{A}$ - не что иное, как векторный потенциал магнитного поля. Более полный анализ с калибровочными функциями, зависящими от $t$, аналогично приводит к известному соотношению между скалярным потенциалом, векторным потенциалом и электрическим полем! В общем, как это ни удивительно, но произвольность фазы волновой функции в КвМеханике, формализуемая принципом калибровочной инвариантности ур-я Шредингера, плюс принцип соответствия с КлМ, напрямую ведут к понятию внешних электрического и магнитного полей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:05 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
$(а) как связаны  обобщенный импульс и скорость$$p=mv+Ae$
Цитата:
(б) чему равен обычный импульс
$p=mv$
Цитата:
(в) как записывается гамильтониан?
$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

При квантовании обобщенная координата $\mathbf{x}$ переходит в оператор $\hat{\mathbf{x}}$ умножения на $\mathbf{x}$, а обобщенный импульс $\mathbf{p}$—в оператор обобщенного импульса $\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$[/quote]

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Sicker в сообщении #957588 писал(а):
$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

А посчитайте получше! Вспомните, как определяется обобщенный импульс (через лагранжиан) и как вводится гамильтониан!

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:18 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):
как определяется обобщенный импульс (через лагранжиан)

обобщенный импульс это производная лагранжиана по обобщенной скорости
Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):
и как вводится гамильтониан!

через преобразование лежандра?

-- 06.01.2015, 22:20 --

Cos(x-pi/2)
всетаки фаза наблюдаема, не наблюдаем глобальный сдвиг фазы, а локальные сдвиги наблюдаемы
Я пока вникаю в ваш пост
И скажите мне, какая величина инваринтна относительно любых локальных сдвигов фазы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #957596 писал(а):
через преобразование лежандра?

Ага!

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Sicker в сообщении #957596 писал(а):
Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):
как определяется обобщенный импульс (через лагранжиан)

обобщенный импульс это производная лагранжиана по обобщенной скорости
Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):
и как вводится гамильтониан!

через преобразование лежандра?

Ну так вычислите!

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:26 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #957604 писал(а):
Ну так вычислите!

$mv+Ae$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5288
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #957607 писал(а):
$mv+Ae$

Это кто такой? Функция Гамильтона?

(Оффтоп)

А вообще, на эти грабли (чистые калибровки, принятые за решения физических задач) наступали очень почтенные люди.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:53 
Заслуженный участник


29/09/14
1248
Sicker в сообщении #957596 писал(а):
И скажите мне, какая величина инваринтна относительно любых локальных сдвигов фазы?

Дык было уже два примера: $|\Psi|^2$ - распределение вероятности для координат частицы, и $|C_{\mathbf{p}}|^2$ - распределение вероятности для импульса частицы. Кроме того, напряжённости ЭМ-полей инвариантны. Магнитный поток инвариантен.

А в калибровочных теориях поля калибровочно-инвариантны, например, сечения процессов взаимодействия, т.е. то, что наблюдаемо в опытах.

Везде речь веду именно о локальных преобразованиях фазы: $\gamma$ в общем случае есть произвольная функция аргументов $\mathbf{r}$ и $t$. (Правда, произвольность тут, как и вообще в физике, надо понимать "в смысле мат. физики", т.е. надо быть аккуратным с дифференцируемостью, с гран. условиями и т.п.)

А произвол глобальной (т.е. постоянной) фазы это банальность; мы же знаем, что нормировочные множители собственных функций определяются с точностью до произвольных постоянных фазовых множителей, т.е. глобальные фазы базисных функций вообще всегда произвольны, даже при использовании калибровочно неинвариантного у.Ш.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В общем, инвариантно всё то, что вычисляется из калибровочно-зависимых величин по определённым правилам. Например, алгебраические члены должны быть синглетными по калибровочному полю (здесь - по векторному потенциалу, то есть включать $A$ только в нулевой степени). Производные - должны быть заменены на ковариантные производные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
amon в сообщении #957629 писал(а):
Sicker в сообщении #957607
писал(а):
$mv+Ae$
Это кто такой? Функция Гамильтона?

Sicker
Разумеется, amon прикалывается—но это Вы дали ему эту возможность не написав кто есть who. И Вам было предложено найти обобщенный импульс и гамильтониан, а Вы нашли что-то одно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 23:52 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Cos(x-pi/2) в сообщении #957633 писал(а):
Дык было уже два примера: $|\Psi|^2$ - распределение вероятности для координат частицы,

ну это да :-)
Cos(x-pi/2) в сообщении #957633 писал(а):
и $|C_{\mathbf{p}}|^2$ - распределение вероятности для импульса частицы.

так, вот у нас есть собственные функции оператора импульса$-ih\frac{d}{dx}$
Тогда плотность вероятности будет$<\varphi_{\mathbf{p}}|\psi>^2$
И вы утверждаете, что она не зависит от фазы, те если мы возьмем постоянную по фазе волновую функцию, то импульс будет ноль, а если повернем фазу импульс так и будет ноль?

-- 06.01.2015, 23:53 --

Red_Herring в сообщении #957656 писал(а):
Разумеется, amon прикалывается—но это Вы дали ему эту возможность не написав кто есть who. И Вам было предложено найти обобщенный импульс и гамильтониан, а Вы нашли что-то одно.

да, это был обобщенный импульс :-)
а гамильнониан
$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение07.01.2015, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11348
Hogtown
Sicker в сообщении #957668 писал(а):
а гамильнониан
$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

А Вы считали? Или от фонаря?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group