с какого перепугу мы вводим новый оператор импульса, когда есть аж два старых?(обычный и с добавкой векторного потенциала)
В том примере нету двух. Сначала постарайтесь разобраться с самой идеей "калибровочной инвариантности" в том простейшем примере.
Идея вот в чём. КвМ учит нас, что волновую функцию
прибором не измерить ни в каком опыте, а можно с опытом сравнивать только её квадрат модуля
(или квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям какого-либо "оператора физической величины", например импульса). Поскольку математика говорит, что всегда можно записать волновую функцию в виде
, то отсюда следует, что фаза
волновой функции принципиально не наблюдаема.
Значит, если прибавлять к фазе волновой функции произвольную функцию координат и времени
, то это не должно влиять на распределения вероятностей и средние значения наблюдаемых физических величин. Такова идея. Но чтобы она воплотилась в жизнь, надо соответствующим образом определять операторы физ. величин, "правильно" их определять. Как же нам узнать правильное определение?
Вот, я Вам и предложил начать с простейшего примера. Пусть у нас есть обычное у. Ш.
свободной частицы, т.е. без потенциалов - в нём потенциалы равны нулю:
Пусть здесь
есть решение; так что, это ур-е превратилось в верное равенство. Теперь мы берём и своими руками "портим" решение этого уравнения - умножаем его на фазовый множитель
с произвольной ф-ей
. Потому что считаем, что новая функция
обязана описывать прежнюю физику, раз уж фаза не наблюдаема. Но тогда как нам быть с прежним уравнением Шредингера - ведь
ему уже не удовлетворяет! А ничего страшного, говорим мы,
надо изменить у.Ш. так, чтобы
стала решением изменённого уравнения у. Ш., и чтобы дальнейшие произвольные преобразования фазы волновой функции больше не меняли бы структуру изменённого ур-я Ш.
Вот такая идея. Если назвать произвольные добавки к фазе "калибровочными преобразованиями", то мы, значит, хотим иметь такое у. Ш., которое
форм-инвариантно при калибровочных пр-ях.
Чтобы найти такое форм-инвариантное ур-е Ш, мы просто подставим в наше исходное у.Ш. свободной частицы его заведомое решение
. Проделайте эту подстановку; получите вот что (для простоты я здесь везде расписываю случай с не зависящей от времени калибровочной функцией
а Вы сделайте такое же упражнение с зависящей ещё и от
):
.
Ну вот, теперь ясно, как должно выглядеть калибровочно-инвариантное у. Ш.: надо вместо
писать в нём
, где мы ввели в дело новое векторное поле
, и требуем по определению, что при калибровочном преобразовании волновой функции это поле тоже нужно преобразовывать: заменять его на
. Такие преобразования образуют группу (это легко понять заметив, что два преобразования, 1-ое и 2-е, эквивалентны одному с калибровочной ф-ей
)
Тогда получается, что случай свободной частицы это случай, когда
равно нулю или равно градиенту какой-либо произвольной функции. А если
не сводится к градиенту скалярного поля, то его не удастся устранить калибровочным преобразованием, и, значит, это уже не свободная частица, а частица в некоем внешнем поле.
Физ. смысл такого поля
дальше можно выяснить, рассмотрев коммутатор операторов координаты с новым гамильтонианом (т.е. оператор скорости частицы), и коммутатор оператора скорости с гамильтонианом (оператор ускорения). Такое упражнение показывает, что получается операторный аналог "уранения Ньютона" с силой, ну прям очень похожей на силу Лоренца (т.е. туда входит векторное произведение скорости и ротора поля
)! Это и является для нас основанием считать, что
- не что иное, как векторный потенциал магнитного поля. Более полный анализ с калибровочными функциями, зависящими от
, аналогично приводит к известному соотношению между скалярным потенциалом, векторным потенциалом и электрическим полем! В общем, как это ни удивительно, но произвольность фазы волновой функции в КвМеханике, формализуемая принципом калибровочной инвариантности ур-я Шредингера, плюс принцип соответствия с КлМ, напрямую ведут к понятию внешних электрического и магнитного полей.