SickerЕсли Вы спрашиваете не "из праздного любопытства", а "взаправду", то давайте разберём самый простой пример, почти очевидный.
Идея примера такая. Возьмём стандартное у.Ш. для
свободной частицы (т.е. в отсутствие всяких потенциалов), выпишем его частное решение с определённым импульсом, и выпишем его общее решение - с произвольным распределением вероятностей для импульса. Затем выполним калибровочное преобразование с произвольной калибровочной функцией
; для простоты пусть
будет без зависимости от времени: тогда скалярной добавки к гамильтониану не будет, а векторная добавка к обобщённому импульсу уже появится. И посмотрим, как изменилось распределение вероятностей для импульса. Итак, понеслась:
1). Ур-е Ш. для свободной частицы имеет вид (для простоты записи постоянную Планка полагаем равной единице):
.
Как известно (или элементарно проверяется), частным решением является плоская волна
c вектором импульса
:
.
(Подразумеваю нормировку в ящике объёмом
, с условиями периодичности.) Почему мы считаем, что эта функция описывает состояние с нефлуктуирующим импульсом, причём равным именно
? Потому что она собственная для оператора импульса
:
.
Общее решение
у.Ш. свободной частицы запишется в виде линейной комбинации таких плоских волн с произвольными коэффициентами
:
.
Почему мы считаем, что
есть распределение вероятностей для импульсов? Потому что вычисление среднего значения импульса по стандартному правилу с учётом ортонормировки плоских волн приводит к формуле "мат. ожидания" вида:
.
2). Выполняем
калибровочное пр-е; это значит заменяем волновую функцию
новой волновой функцией
по формуле
и заменяем оператор
, который теперь имеет смысл лишь "обобщённого импульса",
удлинённым оператором
, который, по определению, имеет смысл "настоящего" (кинематического) импульса:
.
Проверяется, что новая волновая функция (как частная, так и общая) удовлетворяет ур-ю Ш. с удлинённым оператором импульса:
.
3). Наконец, разбираемся с "физ. смыслом" новых в.ф-й. Замечаем, что поскольку новая частная функция, т.е.
с прежним вектором
есть собственная функция для
удлинённого оператора импульса:
,
то этот вектор
есть по-прежнему не флуктуирующий вектор импульса в данном квантовом состоянии. Аналогично, вычисляя среднее значение
удлинённого оператора импульса для общего решения, т.е. для
,
мы получаем прежнюю формулу "мат. ожидания":
.
Это и означает, что при калибровочном преобразовании волновой функции распределение вероятностей для импульса не изменилось.