2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 16:53 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Если мы рассмотрим стационарное состояние электрона с гамильтонианом, включающий в себя электромагнитное взаимодействие при помощи потенциалов, то если скажем мы сделаем калибровочное преобразование полей, гамильтониан изменится, и теперь у электрона поменяется волновая функция стационарного состояния
Правильно ли я понимаю, что изменится тогда волновая функция в импульсном представлении, те распределение вероятности импульсов? А обобщенный импульс(+векторный потенциал) останется тем же?
В этом и заключается эффект Аарона-Бома?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5244
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #957322 писал(а):
мы сделаем калибровочное преобразование полей,

Давайте аккуратно.
1. Калибровочное преобразование преобразует не измеряемые величины (потенциалы и волновые функции). Все измеряемые величины должны сохраниться. Поэтому
2. Волновые функции (в любом представлении) изменятся, а вероятности (чего угодно) - нет.
3. Эффект Ааронова-Бома заключается в том, что гамильтониан зависит от потенциалов, а не полей. Потенциалы не равны нулю, там, где поля нулевые , поэтому заряженная частица знает, что где-то поле не ноль, хотя там, где она (ее волновой пакет сосредоточен) поле ноль. Изменение калибровки величины эффекта, естественно, не меняет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:12 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
еще такой небольшой вопрос, если мы рассмотрим волновую функцию, соответствующую определенному значению какой-то физической величины в базисе собственных функций оператора это физ величины, то она будет представлять собой дельта-функцию, но дельта-функция не относится к классу функций, интегрируемых с квадратом, тк ее квадрат не определен
Получается обычным путем нельзя посчитать вероятность?

-- 06.01.2015, 17:13 --

amon в сообщении #957339 писал(а):
2. Волновые функции (в любом представлении) изменятся, а вероятности (чего угодно) - нет.

В ЛЛ$3 говорится, что не изменятся наблюдаемые величины, и одна из них обобщенный импульс частицы в элетромагнитном поле
Но мы же можем наблюдать и обычный импульс?

-- 06.01.2015, 17:15 --

И очевидно что он изменится тк мы может подходящей калибровкой как угодно поменять фазы волновой функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Sicker в сообщении #957340 писал(а):
еще такой небольшой вопрос, если мы рассмотрим волновую функцию, соответствующую определенному значению какой-то физической величины в базисе собственных функций оператора это физ величины, то она будет представлять собой дельта-функцию, но дельта-функция не относится к классу функций, интегрируемых с квадратом, тк ее квадрат не определен
Получается обычным путем нельзя посчитать вероятность?

Вы путаете собственные функции и обобщенные собственные функции, которые не принадлежат к нашему гильбертовому пространству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:20 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
а что с обобщенными собственными функциями?
(да практически все собственные функции операторов основных физических величин обобщенные-координаты, импульса, момента импульса, энергии)

-- 06.01.2015, 17:22 --

и покажите мне непрерывный(континиитуальный) набор функций, которые составляют ортонормированный базис и при этом они хорошо интегрируемы с квадратом

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5244
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #957340 писал(а):
и одна из них обобщенный импульс частицы в элетромагнитном поле
Но мы же можем наблюдать и обычный импульс? И очевидно что он изменится тк мы может подходящей калибровкой как угодно поменять фазы волновой функции

Вам не приходило в голову, что "аналогичный случай с коровой Машкой" случается в классической механике? Мы можем сосчитать $m\dot{x}$, а можем $m\dot{x}+\frac{e}{c}A$, и получим разные числа. Причем, последняя величина явно зависит от калибровки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:26 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon в сообщении #957352 писал(а):
Причем, последняя величина явно зависит от калибровки.

как раз независит, а $p$ зависит
так в ландавшице написано

-- 06.01.2015, 17:26 --

если я не путаю ничего

-- 06.01.2015, 17:28 --

а в классической механике обобщенный импульс сохраняется, когда везде $\varphi=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5244
ФТИ им. Иоффе СПб
Sicker в сообщении #957356 писал(а):
как раз независит, а $p$ зависит
так в ландавшице написано

Я, действительно, нечетко написал, сейчас подправил. Тем не менее, одна или обе эти величины от калибровки зависят. В общем, как я понимаю, Вы все поняли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 17:40 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
amon в сообщении #957368 писал(а):
Я, действительно, нечетко написал, сейчас подправил.

вы только импульс расписали, да я и так думал что он не обобщенный
amon в сообщении #957368 писал(а):
Тем не менее, одна или обе эти величины от калибровки зависят

а как же то что калибровочное преобразование не меняет наблюдаемых величин
amon в сообщении #957368 писал(а):
В общем, как я понимаю, Вы все поняли.

нет, к сожалению, я вообще ничего не понял :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Sicker
Я заметил, что вы сначала спрашиваете какую-то невероятную чушь, а потом сами успешно разбираетесь по учебникам. Почему бы вам не попробовать эту стадию проделать сначала, молча?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5244
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #957409 писал(а):
Я заметил, что вы сначала спрашиваете какую-то невероятную чушь, а потом сами успешно разбираетесь по учебникам. Почему бы вам не попробовать эту стадию проделать сначала, молча?
А пообщаться?
Sicker в сообщении #957340 писал(а):
В ЛЛ$3 говорится, что не изменятся наблюдаемые величины, и одна из них обобщенный импульс частицы в элетромагнитном поле
Но мы же можем наблюдать и обычный импульс?

Тут я неаккуратно написал, прошу извинить. Мысль была простая. Обычный и обобщенный импульс не могут одновременно быть калибровочно инвариантными, (для простоты случай одномерный, все массы, заряды, скорости - единицы) поскольку:
Функция Лагранжа $$\mathcal{L}=\frac{\dot{x}^2}{2}+\dot{x}A(x)$$ Обобщенный импульс $$P=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{x}}=\dot{x}+A$$ К стати, где Ландау говорит, что обобщенный импульс калибровочно инвариантен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 18:18 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
ну блин, а тогда что вообще сохраняется при калибровочных преобразованиях? :shock:

(Оффтоп)

Munin :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вопрос скорее в том, кто из них наблюдаемый :-)

-- 06.01.2015 18:39:19 --

Sicker
Я серьёзно. Вы слишком разгильдяйствуете. Попробуйте зажать себя в кулак. "Пообщаться" - это amon-у простительно, а не вам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 20:31 
Заслуженный участник


29/09/14
1239
Sicker
Если Вы спрашиваете не "из праздного любопытства", а "взаправду", то давайте разберём самый простой пример, почти очевидный.

Идея примера такая. Возьмём стандартное у.Ш. для свободной частицы (т.е. в отсутствие всяких потенциалов), выпишем его частное решение с определённым импульсом, и выпишем его общее решение - с произвольным распределением вероятностей для импульса. Затем выполним калибровочное преобразование с произвольной калибровочной функцией $\gamma (\mathbf{r})$; для простоты пусть $\gamma$ будет без зависимости от времени: тогда скалярной добавки к гамильтониану не будет, а векторная добавка к обобщённому импульсу уже появится. И посмотрим, как изменилось распределение вероятностей для импульса. Итак, понеслась:

1). Ур-е Ш. для свободной частицы имеет вид (для простоты записи постоянную Планка полагаем равной единице):

$i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla)^2}{2m} \Psi$ .

Как известно (или элементарно проверяется), частным решением является плоская волна $\Psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r},t)$ c вектором импульса $\mathbf{p}$:

$\Psi_{\mathbf{p}}=\frac{1}{\sqrt{V}} e^{i\mathbf{p} \cdot  \mathbf{r} - i E_{\mathbf{p}}t}$ .

(Подразумеваю нормировку в ящике объёмом $V$, с условиями периодичности.) Почему мы считаем, что эта функция описывает состояние с нефлуктуирующим импульсом, причём равным именно $\mathbf{p}$? Потому что она собственная для оператора импульса $-i \nabla$:

$-i \nabla \, \Psi_{\mathbf{p}} = \mathbf{p} \, \Psi_{\mathbf{p}}$ .

Общее решение $\Psi(\mathbf{r},t)$ у.Ш. свободной частицы запишется в виде линейной комбинации таких плоских волн с произвольными коэффициентами $C_{\mathbf{p}}$:

$\Psi=\sum_{\mathbf{p}} C_{\mathbf{p}} \Psi_{\mathbf{p}}$ .

Почему мы считаем, что $|C_{\mathbf{p}}|^2$ есть распределение вероятностей для импульсов? Потому что вычисление среднего значения импульса по стандартному правилу с учётом ортонормировки плоских волн приводит к формуле "мат. ожидания" вида:

$<\mathbf{p}> \, = \,\int dV \Psi^* (-i \nabla) \Psi = \sum_{\mathbf{p}} \mathbf{p} |C_{\mathbf{p}}|^2$ .


2). Выполняем калибровочное пр-е; это значит заменяем волновую функцию $\Psi$ новой волновой функцией $\Phi$ по формуле

$\Phi = e^{i \gamma} \Psi$

и заменяем оператор $(-i \nabla)$, который теперь имеет смысл лишь "обобщённого импульса", удлинённым оператором $\hat {\mathbf{p}}$, который, по определению, имеет смысл "настоящего" (кинематического) импульса:

$\hat {\mathbf{p}}=-i \nabla - (\nabla \gamma)$ .

Проверяется, что новая волновая функция (как частная, так и общая) удовлетворяет ур-ю Ш. с удлинённым оператором импульса:

$i\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla -(\nabla \gamma))^2}{2m} \Phi$ .


3). Наконец, разбираемся с "физ. смыслом" новых в.ф-й. Замечаем, что поскольку новая частная функция, т.е. $\Phi_{\mathbf{p}} = e^{i \gamma} \Psi_{\mathbf{p}}$ с прежним вектором $\mathbf{p},$ есть собственная функция для удлинённого оператора импульса:

$\hat {\mathbf{p}} \Phi_{\mathbf{p}} = \mathbf{p} \Phi_{\mathbf{p}}$ ,

то этот вектор $\mathbf{p}$ есть по-прежнему не флуктуирующий вектор импульса в данном квантовом состоянии. Аналогично, вычисляя среднее значение удлинённого оператора импульса для общего решения, т.е. для

$\Phi = e^{i \gamma} \Psi = \sum_{\mathbf{p}} C_{\mathbf{p}} e^{i \gamma} \Psi_{\mathbf{p}}=\sum_{\mathbf{p}} C_{\mathbf{p}} \Phi_{\mathbf{p}}$ ,

мы получаем прежнюю формулу "мат. ожидания":

$<\mathbf{p}>\,=\, \langle \Phi | (-i \nabla - (\nabla \gamma)) | \Phi \rangle = \sum_{\mathbf{p}} \mathbf{p} |C_{\mathbf{p}}|^2$ .

Это и означает, что при калибровочном преобразовании волновой функции распределение вероятностей для импульса не изменилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая физика
Сообщение06.01.2015, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11296
Hogtown
Разумеется мы не можем произвольно точно определить весь импульс $-i\hbar\nabla -\mathbf{A}$, а только его отдельные компоненты или его квадрат (поскольку при наличии магнитного поля эти операторы не коммутируют). С другой стороны компоненты обобщенного импульса $i\hbar\nabla$ коммутируют.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group