Квантовая физика

[Sicker]

Cos(x-pi/2) в сообщении #957541 писал(а):

и заменяем оператор $(-i \nabla)$, который теперь имеет смысл лишь "обобщённого импульса", удлинённым оператором $\hat {\mathbf{p}}$, который, по определению, имеет смысл "настоящего" (кинематического) импульса:

$\hat {\mathbf{p}}=-i \nabla - (\nabla \gamma)$ .

вот это не понял, с какого перепугу мы вводим новый оператор импульса, когда есть аж два старых?(обычный и с добавкой векторного потенциала)

-- 06.01.2015, 20:43 --

и почему вы обычный импульс назвали обобщенным?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #957546 писал(а):

обычный и с добавкой векторного потенциала

Вернемся к классике. Если $x$—обобщенные (они же обычные) координаты, то при указанном Вам лагранжиане (а) как связаны обобщенный импульс и скорость (б) чему равен обычный импульс (в) как записывается гамильтониан?

При квантовании обобщенная координата $\mathbf{x}$ переходит в оператор $\hat{\mathbf{x}}$ умножения на $\mathbf{x}$, а обобщенный импульс $\mathbf{p}$—в оператор обобщенного импульса $\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$

[Cos(x-pi/2)]

Sicker в сообщении #957546 писал(а):

с какого перепугу мы вводим новый оператор импульса, когда есть аж два старых?(обычный и с добавкой векторного потенциала)

В том примере нету двух. Сначала постарайтесь разобраться с самой идеей "калибровочной инвариантности" в том простейшем примере.

Идея вот в чём. КвМ учит нас, что волновую функцию $\Psi$ прибором не измерить ни в каком опыте, а можно с опытом сравнивать только её квадрат модуля $| \Psi|^2$ (или квадраты модулей коэффициентов разложения волновой функции по собственным функциям какого-либо "оператора физической величины", например импульса). Поскольку математика говорит, что всегда можно записать волновую функцию в виде $\Psi =| \Psi|e^{i\alpha}$, то отсюда следует, что фаза $\alpha$ волновой функции принципиально не наблюдаема.

Значит, если прибавлять к фазе волновой функции произвольную функцию координат и времени $\gamma$, то это не должно влиять на распределения вероятностей и средние значения наблюдаемых физических величин. Такова идея. Но чтобы она воплотилась в жизнь, надо соответствующим образом определять операторы физ. величин, "правильно" их определять. Как же нам узнать правильное определение?

Вот, я Вам и предложил начать с простейшего примера. Пусть у нас есть обычное у. Ш. свободной частицы, т.е. без потенциалов - в нём потенциалы равны нулю:

$i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla)^2}{2m} \Psi$

Пусть здесь $\Psi$ есть решение; так что, это ур-е превратилось в верное равенство. Теперь мы берём и своими руками "портим" решение этого уравнения - умножаем его на фазовый множитель $e^{i \gamma}$ с произвольной ф-ей $\gamma$. Потому что считаем, что новая функция $\Phi = e^{i \gamma} \Psi$ обязана описывать прежнюю физику, раз уж фаза не наблюдаема. Но тогда как нам быть с прежним уравнением Шредингера - ведь $\Phi$ ему уже не удовлетворяет! А ничего страшного, говорим мы, надо изменить у.Ш. так, чтобы $\Phi$ стала решением изменённого уравнения у. Ш., и чтобы дальнейшие произвольные преобразования фазы волновой функции больше не меняли бы структуру изменённого ур-я Ш.

Вот такая идея. Если назвать произвольные добавки к фазе "калибровочными преобразованиями", то мы, значит, хотим иметь такое у. Ш., которое форм-инвариантно при калибровочных пр-ях.

Чтобы найти такое форм-инвариантное ур-е Ш, мы просто подставим в наше исходное у.Ш. свободной частицы его заведомое решение $\Psi = e^{-i \gamma} \Phi$. Проделайте эту подстановку; получите вот что (для простоты я здесь везде расписываю случай с не зависящей от времени калибровочной функцией $\gamma,$ а Вы сделайте такое же упражнение с зависящей ещё и от $t$):

$i\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla -(\nabla \gamma))^2}{2m} \Phi$ .

Ну вот, теперь ясно, как должно выглядеть калибровочно-инвариантное у. Ш.: надо вместо $(-i \nabla)$ писать в нём $(-i\nabla - \mathbf{A})$, где мы ввели в дело новое векторное поле $\mathbf{A}$, и требуем по определению, что при калибровочном преобразовании волновой функции это поле тоже нужно преобразовывать: заменять его на $\mathbf{A}+\nabla \gamma$. Такие преобразования образуют группу (это легко понять заметив, что два преобразования, 1-ое и 2-е, эквивалентны одному с калибровочной ф-ей $\gamma = {\gamma}_1 + {\gamma}_2$)

Тогда получается, что случай свободной частицы это случай, когда $\mathbf{A}$ равно нулю или равно градиенту какой-либо произвольной функции. А если $\mathbf{A}$ не сводится к градиенту скалярного поля, то его не удастся устранить калибровочным преобразованием, и, значит, это уже не свободная частица, а частица в некоем внешнем поле.

Физ. смысл такого поля $\mathbf{A}$ дальше можно выяснить, рассмотрев коммутатор операторов координаты с новым гамильтонианом (т.е. оператор скорости частицы), и коммутатор оператора скорости с гамильтонианом (оператор ускорения). Такое упражнение показывает, что получается операторный аналог "уранения Ньютона" с силой, ну прям очень похожей на силу Лоренца (т.е. туда входит векторное произведение скорости и ротора поля $\mathbf{A}$)! Это и является для нас основанием считать, что $\mathbf{A}$ - не что иное, как векторный потенциал магнитного поля. Более полный анализ с калибровочными функциями, зависящими от $t$, аналогично приводит к известному соотношению между скалярным потенциалом, векторным потенциалом и электрическим полем! В общем, как это ни удивительно, но произвольность фазы волновой функции в КвМеханике, формализуемая принципом калибровочной инвариантности ур-я Шредингера, плюс принцип соответствия с КлМ, напрямую ведут к понятию внешних электрического и магнитного полей.

[Sicker]

$(а) как связаны обобщенный импульс и скорость$$p=mv+Ae$

Цитата:

(б) чему равен обычный импульс

$p=mv$

Цитата:

(в) как записывается гамильтониан?

$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

При квантовании обобщенная координата $\mathbf{x}$ переходит в оператор $\hat{\mathbf{x}}$ умножения на $\mathbf{x}$, а обобщенный импульс $\mathbf{p}$—в оператор обобщенного импульса $\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla$[/quote]

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #957588 писал(а):

$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

А посчитайте получше! Вспомните, как определяется обобщенный импульс (через лагранжиан) и как вводится гамильтониан!

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):

как определяется обобщенный импульс (через лагранжиан)

обобщенный импульс это производная лагранжиана по обобщенной скорости

Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):

и как вводится гамильтониан!

через преобразование лежандра?

-- 06.01.2015, 22:20 --

Cos(x-pi/2)
всетаки фаза наблюдаема, не наблюдаем глобальный сдвиг фазы, а локальные сдвиги наблюдаемы
Я пока вникаю в ваш пост
И скажите мне, какая величина инваринтна относительно любых локальных сдвигов фазы?

[amon]

Sicker в сообщении #957596 писал(а):

через преобразование лежандра?

Ага!

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #957596 писал(а):

Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):

как определяется обобщенный импульс (через лагранжиан)

обобщенный импульс это производная лагранжиана по обобщенной скорости

Red_Herring в сообщении #957591 писал(а):

и как вводится гамильтониан!

через преобразование лежандра?

Ну так вычислите!

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #957604 писал(а):

Ну так вычислите!

$mv+Ae$

[amon]

Sicker в сообщении #957607 писал(а):

$mv+Ae$

Это кто такой? Функция Гамильтона?

(Оффтоп)

А вообще, на эти грабли (чистые калибровки, принятые за решения физических задач) наступали очень почтенные люди.

[Cos(x-pi/2)]

Sicker в сообщении #957596 писал(а):

И скажите мне, какая величина инваринтна относительно любых локальных сдвигов фазы?

Дык было уже два примера: $|\Psi|^2$ - распределение вероятности для координат частицы, и $|C_{\mathbf{p}}|^2$ - распределение вероятности для импульса частицы. Кроме того, напряжённости ЭМ-полей инвариантны. Магнитный поток инвариантен.

А в калибровочных теориях поля калибровочно-инвариантны, например, сечения процессов взаимодействия, т.е. то, что наблюдаемо в опытах.

Везде речь веду именно о локальных преобразованиях фазы: $\gamma$ в общем случае есть произвольная функция аргументов $\mathbf{r}$ и $t$. (Правда, произвольность тут, как и вообще в физике, надо понимать "в смысле мат. физики", т.е. надо быть аккуратным с дифференцируемостью, с гран. условиями и т.п.)

А произвол глобальной (т.е. постоянной) фазы это банальность; мы же знаем, что нормировочные множители собственных функций определяются с точностью до произвольных постоянных фазовых множителей, т.е. глобальные фазы базисных функций вообще всегда произвольны, даже при использовании калибровочно неинвариантного у.Ш.

[Munin]

В общем, инвариантно всё то, что вычисляется из калибровочно-зависимых величин по определённым правилам. Например, алгебраические члены должны быть синглетными по калибровочному полю (здесь - по векторному потенциалу, то есть включать $A$ только в нулевой степени). Производные - должны быть заменены на ковариантные производные.

[Red_Herring]

amon в сообщении #957629 писал(а):

Sicker в сообщении #957607
писал(а):
$mv+Ae$
Это кто такой? Функция Гамильтона?

Sicker
Разумеется, amon прикалывается—но это Вы дали ему эту возможность не написав кто есть who. И Вам было предложено найти обобщенный импульс и гамильтониан, а Вы нашли что-то одно.

[Sicker]

Cos(x-pi/2) в сообщении #957633 писал(а):

Дык было уже два примера: $|\Psi|^2$ - распределение вероятности для координат частицы,

ну это да

Cos(x-pi/2) в сообщении #957633 писал(а):

и $|C_{\mathbf{p}}|^2$ - распределение вероятности для импульса частицы.

так, вот у нас есть собственные функции оператора импульса$-ih\frac{d}{dx}$
Тогда плотность вероятности будет$<\varphi_{\mathbf{p}}|\psi>^2$
И вы утверждаете, что она не зависит от фазы, те если мы возьмем постоянную по фазе волновую функцию, то импульс будет ноль, а если повернем фазу импульс так и будет ноль?

-- 06.01.2015, 23:53 --

Red_Herring в сообщении #957656 писал(а):

Разумеется, amon прикалывается—но это Вы дали ему эту возможность не написав кто есть who. И Вам было предложено найти обобщенный импульс и гамильтониан, а Вы нашли что-то одно.

да, это был обобщенный импульс
а гамильнониан
$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #957668 писал(а):

а гамильнониан
$e\varphi+\frac{(p+Ae)^2}{2m} $

А Вы считали? Или от фонаря?