Теорема о существовании предела монотонной последовательност

[provincialka]

На самом деле с минусами задача тривиальна. Вот если бы в каждой скобке был плюс... Это было бы по-труднее.

[fronnya]

Возьмем $k$-й член последовательности $1-1/2^k$ и возьмем $k+1$-й: $1-1/2^{k+1}$, очевидно, что $\forall k>0 \rightarrow\frac{ 1-1/2^{k}}{1-1/2^{k+1}}>1$

[maxmatem]

fronnya

Ваша последовательность имеет вид

$$ x_{n}=\prod\nolimits_{k=1}^n (1-\frac{1}{2^{k}})$$

Вот и выпишите сначала

$x_{1}=$
$x_{2}=$
.............

[fronnya]

maxmatem в сообщении #957310 писал(а):

fronnya

Ваша последовательность имеет вид

$$ x_{k}=\prod\nolimits_{k=1}^n (1-\frac{1}{2^{k}})$$

Вот и выпишите сначала

$x_{1}=$
$x_{2}=$
.............

$$ x_{k}=\prod\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{2^{k}})$$

$$x_1=1-\frac{1}{2}$$

$$x_2=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)$$

$$x_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$

Я, оказывается, даже условия не понял правильно, это ведь был дан нный член последовательности.

-- 06.01.2015, 15:42 --

$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)}{\left(1-\frac{1}{2}\right)}=\left(1-\frac{1}{4}\right)<1$$

Значит последовательность убывает?

-- 06.01.2015, 15:45 --

Там каждый следующий член будет включать в себя полностью предыдущий и после взятия их соотношения будет оставаться множитель меньше единицы.

[maxmatem]

По-хорошему так не доказывают. Вы ведь взяли только частное двух первых членов последовательности......

Я и говорю возьмите отношение $x_{k}$ и $x_{k+1}$ или как больше нравиться и посмотрите что будет


Короче рассмотрите следующее $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$

[fronnya]

Хорошо, $k$-й член последовательности выглядит так:

$$x_k=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)..\left(1-\frac{1}{2^k}\right)$$

$k+1$ -й член:

$$x_{k+1}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)..\left(1-\frac{1}{2^k}\right)\left(1-\frac{1}{2^{k+1}}\right)$$

$$\frac{x_{k+1}}{x_k}=\left(1-\frac{1}{2^{k+1}}\right)<1$$

[provincialka]

Ну вот. Осталось проверить ограниченность

[fronnya]

provincialka в сообщении #957321 писал(а):

Ну вот. Осталось проверить ограниченность

Должно найтись такое вещественное число m, что выполняется $x_k\geqslant m$, либо наоборот.

-- 06.01.2015, 16:00 --

Не понимаю. Откуда оно найдется, это число.

[provincialka]

Даже не знаю, как подсказать... Слишком очевидно. $x_1=1/2$, $x_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$, $x_3=\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{8}=\frac{21}{64}$... все эти числа больше...

[fronnya]

provincialka в сообщении #957330 писал(а):

Даже не знаю, как подсказать... Слишком очевидно. $x_1=1/2$, $x_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$, $x_3=\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{8}=\frac{21}{64}$... все эти числа больше...

Я думаю так. Самый большой член последовательности- $x_1=0.5$, значит сверху она ограничена.

[maxmatem]

Цитата:

Самый большой член последовательности- $x_1=0.5$, значит сверху она ограничена.

очень странный вывод........
Посмотрите на подсказку provincialka

[fronnya]

Больше нуля?

[maxmatem]

Сами как считаете?

[fronnya]

maxmatem в сообщении #957348 писал(а):

Сами как считаете?

Я так и считаю, они больше нуля. Но так же не превысят $1/2$

-- 06.01.2015, 16:26 --

Я не прав?

[provincialka]

Не прав. Первый член равен 0,5, а остальные меньше.