2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:29 
Аватара пользователя
На самом деле с минусами задача тривиальна. Вот если бы в каждой скобке был плюс... Это было бы по-труднее.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:33 
Аватара пользователя
Возьмем $k$-й член последовательности $1-1/2^k$ и возьмем $k+1$-й: $1-1/2^{k+1}$, очевидно, что $\forall k>0 \rightarrow\frac{ 1-1/2^{k}}{1-1/2^{k+1}}>1$

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:35 
Аватара пользователя
fronnya

Ваша последовательность имеет вид
$$ x_{n}=\prod\nolimits_{k=1}^n (1-\frac{1}{2^{k}})$$

Вот и выпишите сначала

$x_{1}=$
$x_{2}=$
.............

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:39 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #957310 писал(а):
fronnya

Ваша последовательность имеет вид
$$ x_{k}=\prod\nolimits_{k=1}^n (1-\frac{1}{2^{k}})$$

Вот и выпишите сначала

$x_{1}=$
$x_{2}=$
.............

$$ x_{k}=\prod\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{2^{k}})$$
$$x_1=1-\frac{1}{2}$$
$$x_2=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)$$
$$x_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$
Я, оказывается, даже условия не понял правильно, это ведь был дан нный член последовательности.

-- 06.01.2015, 15:42 --

$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)}{\left(1-\frac{1}{2}\right)}=\left(1-\frac{1}{4}\right)<1$$
Значит последовательность убывает?

-- 06.01.2015, 15:45 --

Там каждый следующий член будет включать в себя полностью предыдущий и после взятия их соотношения будет оставаться множитель меньше единицы.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:47 
Аватара пользователя
По-хорошему так не доказывают. Вы ведь взяли только частное двух первых членов последовательности......

Я и говорю возьмите отношение $x_{k}$ и $x_{k+1}$ или как больше нравиться и посмотрите что будет


Короче рассмотрите следующее $\frac{x_{k}}{x_{k+1}}$

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:53 
Аватара пользователя
Хорошо, $k$-й член последовательности выглядит так: $$x_k=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)..\left(1-\frac{1}{2^k}\right)$$
$k+1$ -й член: $$x_{k+1}=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)..\left(1-\frac{1}{2^k}\right)\left(1-\frac{1}{2^{k+1}}\right)$$
$$\frac{x_{k+1}}{x_k}=\left(1-\frac{1}{2^{k+1}}\right)<1$$

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:53 
Аватара пользователя
Ну вот. Осталось проверить ограниченность

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:59 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #957321 писал(а):
Ну вот. Осталось проверить ограниченность

Должно найтись такое вещественное число m, что выполняется $x_k\geqslant m$, либо наоборот.

-- 06.01.2015, 16:00 --

Не понимаю. Откуда оно найдется, это число.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 17:09 
Аватара пользователя
Даже не знаю, как подсказать... Слишком очевидно. $x_1=1/2$, $x_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$, $x_3=\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{8}=\frac{21}{64}$... все эти числа больше...

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 17:11 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #957330 писал(а):
Даже не знаю, как подсказать... Слишком очевидно. $x_1=1/2$, $x_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$, $x_3=\frac{3}{8}\cdot\frac{7}{8}=\frac{21}{64}$... все эти числа больше...

Я думаю так. Самый большой член последовательности- $x_1=0.5$, значит сверху она ограничена.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 17:14 
Аватара пользователя
Цитата:
Самый большой член последовательности- $x_1=0.5$, значит сверху она ограничена.


очень странный вывод........
Посмотрите на подсказку provincialka

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 17:16 
Аватара пользователя
Больше нуля? :oops:

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 17:20 
Аватара пользователя
Сами как считаете?

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 17:22 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #957348 писал(а):
Сами как считаете?

Я так и считаю, они больше нуля. Но так же не превысят $1/2$

-- 06.01.2015, 16:26 --

Я не прав?

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 17:54 
Аватара пользователя
Не прав. Первый член равен 0,5, а остальные меньше.

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group