Теорема о существовании предела монотонной последовательност

[fronnya]

Есть такая теорема. Если неубывающая (невозрастающая) монотонная последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Как эту теорему применить для того, чтобы доказать сходимость этой последовательности: $x_n=\left(1-\frac 1 2 \right)\left(1-\frac 1 4 \right)...\left(1-\frac 1 2^n \right)$ ?

[provincialka]

А какую часть условия теоремы вы уже доказали?

[fronnya]

provincialka в сообщении #957280 писал(а):

А какую часть условия теоремы вы уже доказали?

А как здесь вообще что- то доказывать? Я не понимаю. Думаю, последовательность сверху ограничена, судя по первому множителю. Так?

[provincialka]

Вы сначала проверьте, возрастает она или убывает. а потом увидим, с какой стороны ее ограничивать.

[fronnya]

provincialka в сообщении #957283 писал(а):

Вы сначала проверьте, возрастает она или убывает. а потом увидим, с какой стороны ее ограничивать.

Убывает

[maxmatem]

fronnya
Покажите доказательство этого факта.

[fronnya]

maxmatem в сообщении #957286 писал(а):

fronnya
Покажите доказательство этого факта.

Как ? $1-1/2<1-1/4<...<1-1/2^n$

-- 06.01.2015, 15:18 --

ЧерТ! Возрастает!

-- 06.01.2015, 15:18 --

Там знаки поменять надо на противоположеные

[provincialka]

fronnya в сообщении #957289 писал(а):

$1-1/2>1-1/4>...>1-1/2^n$

Это
1. неверно
2. не имеет отношения к делу.

[maxmatem]

fronnya

По определению.

Что значит последовательность возр или уб ?

Рассмотрите разность например $x_{k}-x_{k+1}........$ определите знак такой разности и сделайте вывод

[provincialka]

maxmatem в сообщении #957292 писал(а):

Рассмотрите разность

Лучше отношение

-- 06.01.2015, 16:21 --

fronnya в сообщении #957289 писал(а):

ЧерТ! Возрастает!

Возрастает, но это не исходная последовательность

[fronnya]

maxmatem в сообщении #957292 писал(а):

fronnya

По определению.

Что значит последовательность возр или уб ?

Рассмотрите разность например $x_{k}-x_{k+1}........$ определите знак такой разности и сделайте вывод

Ааа, точно. Ну тогда так $\left[(1-1/2^k)-(1-1/2^{k-1})\right]>0$

[maxmatem]

provincialka

(Оффтоп)

А почему бы разность не посмотреть......может я не так пос-ть понял......$x_{k}=1-\frac{1}{2^{k}}$

Цитата:

Ааа, точно. Ну тогда так $\left[(1-1/2^k)-(1-1/2^{k-1})\right]>0$

приведите более подробные выкладки

[provincialka]

maxmatem в сообщении #957296 писал(а):

может я не так пос-ть понял......$x_{k}=1-\frac{1}{2^{k}}$

Не так поняли.

-- 06.01.2015, 16:26 --

fronnya
И вы не так последовательность поняли. Ну-ка, выпишите несколько первых ее членов.

[fronnya]

maxmatem в сообщении #957296 писал(а):

приведите более подробные выкладки

А что тут ещё писать ? Это же очевидно, что оно так.

[maxmatem]

fronnya
Я не так понял вашу последовательность, тогда лучше прислушайтесь к provincialka.

Я сейчас немного перестроюсь и включусь в разговор