Доказательство алгебраичности числа

[Otta]

Не нужно пока ничего. Обозначьте $\pi p/n=x$, Вам не надоело его таскать? (букву в знаменателе сменила нарочно).
И докажите утверждение Terraniux для $n=3$. Сперва как можете, потом с помощью формулы Муавра.

[maximk]

Выше доказано для любых нечетных n.

[Otta]

Где? что-то не вижу.

[maximk]

Поправил.
$\sin n(p\pi/q)=n\cos^{n-1} (p\pi/q) \sin (p\pi/q) -n!3!^{-1}(n-3)!^{-1}\cos^{n-3} (p\pi/q) \sin (p\pi/q)+...+\sin^n (p\pi/q)$

[Otta]

Но Вы же видите, что справа нет многочлена от синуса в таком виде.

[maximk]

Нету. Просто показал, что верно утверждение "для нечетных n верно $\sin nx=P(sin x)$

-- 06.01.2015, 10:12 --

$\sin q(p\pi/n)=q\cos^{q-1} (p\pi/n) \sin (p\pi/n) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (p\pi/n) \sin (p\pi/n)+...+\sin^q (p\pi/n)$

-- 06.01.2015, 10:12 --

Переобозначил.

[Otta]

Ладно, если Вы понимаете, почему справа многочлен именно от синуса, а не полином от синуса и косинуса, то Бога ради. Выполняйте теперь программу от ex-math, эту, из трех пунктов.

[maximk]

Нет, походу так и не понял.

-- 06.01.2015, 10:18 --

А, понял о чём вы. Косинус в точках $p\pi$.

-- 06.01.2015, 10:20 --

Но мне непонятно, что это даёт. Вроде бы тривиально, а вроде и нет. Ну есть факт, что $\sin nx=P(\sin x)$, но как отсюда следует, что $\sin nx$ алгебраическое?

-- 06.01.2015, 10:22 --

Понятно, что коэффициенты рациональные (биноминальные коэффициенты), умноженные на $\pm1$, и что главный член отличен от 0 тоже очевидно.

[Otta]

maximk в сообщении #957134 писал(а):

Косинус в точках $p\pi$.

Почему в таких?

maximk в сообщении #957134 писал(а):

Но мне непонятно, что это даёт. Вроде бы тривиально, а вроде и нет. Ну есть факт,

Не, я не согласна дальше, пока мы этот факт полностью для себя не установим.
...
Я ж Вам говорю, докажите, что $\sin \frac\pi 5$ - алгебраическое число, не прибегая к его явному виду. Станет яснее, что и зачем.
Неважно как, с помощью того, что выше, без этой помощи.

[maximk]

Потому что, то рассматривали $\sin (n p\pi/q)$ при n=q.

$\sin q(\pi/5)=q\cos^{q-1} (\pi/5) \sin (\pi/5) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (\pi/5) \sin (\pi/5)+...+\sin^q (\pi/5)$. Это имеем при $p=1, n=5$. И опять путаница, непонимание остаётся вне зависимости от того, общий случай или нет. По-моему в общем случае даже попроще будет.

[Otta]

У Вас $q$ то в числителе, то в знаменателе. :(

maximk в сообщении #957138 писал(а):

$\sin q(\pi/5)=q\cos^{q-1} (\pi/5) \sin (\pi/5) -q!3!^{-1}(q-3)!^{-1}\cos^{q-3} (\pi/5) \sin (\pi/5)+...+\sin^q (\pi/5)$

И что тут можно сделать, чтобы осталось уравнение, зависящее только от $\sin (\pi/5)$?

[maximk]

Пока не вижу.

-- 06.01.2015, 10:58 --

В данном случае использовал последнюю запись в общем виде.
Биноминальные коэффициенты и степени сбивают с толку.

[provincialka]

не сюда

[Otta]

Вам никакие степени с коэффициентами не должны мешать. Это необходимый атрибут многочлена. Что мешает, чтобы все уравнение было уравнением именно от нужного синуса и только от него?

[maximk]

А, понял. Осталось догадаться, почему $\cos (p\pi/q)$ рациональное.