Помогите посчитать интегралы

[Otta]

B@R5uk в сообщении #957040 писал(а):

Можно попробовать преобразованием переменной замкнуть бесконечную прямую действительной оси в какую-нибудь окружность.

И доказывать сходимость интеграла от неограниченной в окрестности бесконечности функции к нулю. Ага.

[B@R5uk]

Простите, не понял. Не ограничена какая функция?

[Otta]

Подынтегральная.

[B@R5uk]

Так вроде ж ограничена:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

И очень быстро стремится к нулю.

[Otta]

Нет, эта экспонента на мнимой оси неограниченна. Вам не удастся доказать, что интеграл по замыкающей дуге стремится к нулю, это неверно.

[Утундрий]

Возможно, из периодичности числителя получится какое-то рекуррентное соотношение между интегралами данного типа?

[B@R5uk]

Otta в сообщении #957067 писал(а):

Вам не удастся доказать, что интеграл по замыкающей дуге стремится к нулю

Нет, Вы не поняли. Я же совсем другое предложил. Конформно отобразить действительную ось на окружность в комплексной плоскости и интегрировать по этой окружности. Да, поведение подынтегральной функции в результате замены переменной может испортиться, но это ещё надо проверить.

-- 06.01.2015, 04:05 --

Мне нравится такая замена переменных:

$$\xi =il\frac{1-i\zeta }{1+i\zeta }$$

Она позволяет интегрирование по прямой $-\infty <\xi <+\infty $ заменить интегрированием по кругу $\left| \zeta \right|=1$, при этом часть подынтегральной функции (если я не ошибся с выкладками -- надо проверить) преобразуется очень красиво:

$$\frac{d\xi }{{{l}^{2}}+{{\xi }^{2}}}=-\frac{i d\zeta }{2{{l}^{2}}\zeta }$$

Дальше уже вычеты. Однако возникает проблема: особая точка попадает на контур интегрирования, возможно она всю задумку сведёт псу под хвост. А ещё надо направления интегрирования сверить.

[Otta]

gammaker в сообщении #956729 писал(а):

Вот второй интеграл:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

И в нем явно чего-то не хватает. Потому что такого ответа

gammaker в сообщении #956948 писал(а):

в ответе был $\operatorname{erfc}(\frac{l}{2a\sqrt{t}})$.

из него получиться не может по меньшей мере в силу отсутствия параметра $t$ в исходном интеграле. Где, похоже, тоже была какая-то свертка. И даже если и так. Очень грубое изучение асимптотики интегралов при $\alpha\to \infty$: первый стремится к нулю, второй - к единице.

По всей видимости, имеет смысл пересчитать, - если, конечно, есть уверенность в верности ответа. :)

[ex-math]

B@R5uk
Не получится. Особую точку $\zeta=i$ придется обходить по дуге окружности малого радиуса, чтобы замкнуть контур. На $\xi$-плоскости этой дуге будет соответствовать та самая большая дуга, от которой Вы хотели убежать.

-- 06.01.2015, 14:18 --

Дифференцирование по параметру дает ответ, и там действительно присутствует $\mathrm{erfc}$.

[B@R5uk]

ex-math в сообщении #957210 писал(а):

Дифференцирование по параметру дает ответ

Ну, по эль дифференцировать, похоже, нет смысла, а дифференцирование по альфа приводит к дифференциальному уравнению (если я не ошибся с выкладками):

$$\begin{align} & \frac{dI}{d\alpha }=-\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}+{{l}^{2}}I \\ & I\left( 0 \right)=\frac{\pi }{l} \end{align}$$

Оно несомненно решается. Но это тот самый путь?

[Утундрий]

B@R5uk в сообщении #957265 писал(а):

это тот самый путь?

Зависит от того, насколько строго следует соблюдать рекомендацию решать непременно вычетами.

[gammaker]

Утундрий в сообщении #957288 писал(а):

Зависит от того, насколько строго следует соблюдать рекомендацию решать непременно вычетами.

Непременно с вычетами считать не заставляют. Это просто была рекомендация от преподавателя, у которого я спросил, как посчитать такой интеграл. Раз уж с вычетами просто не получится, то думаю, что углубляться в сложности не надо.
Попробую с дифференцированием по параметру.

Кстати, по поводу параметра $t$. Чтобы упростить формулы, я ввёл обозначение $\alpha=\frac{1}{4a^2t}$. А часть ответа с $erfc$ я прямо из ответа записал, забыв пояснить, что это в других обозначениях.

[gammaker]

Посчитал второй интеграл, получилось

$$ \frac{\pi}{l}e^{l^2\alpha} erfc(l\sqrt{\alpha}) $$

С ответом задача почти сходится, но есть лишний множитель $\sqrt{\pi}$. Я три раза проверил вычисления, вроде всё верно.

[ex-math]

Верно. Множитель может быть от того, что Вы с задачником по-разному определяете $\mathrm{erfc}$. Это легко проверить -- Ваш интеграл при $\alpha=0$ равен $\pi/l$.

[gammaker]

ex-math в сообщении #957559 писал(а):

Верно. Множитель может быть от того, что Вы с задачником по-разному определяете $\mathrm{erfc}$.

В том-то и дело, что я определяю $\mathrm{erfc}$ так же, как в лекциях, которые у нас читает сам автор этого задачника. Это же вроде общепринятая функция, разве могут быть какие-то неоднозначности в её определении?