Помогите посчитать интегралы

[gammaker]

Решая задачи по уравнениям математической физики, получаю интегралы, которые не знаю, как считать.
Вот первый из них имеет такой вид:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\cos \xi \exp(-\alpha (x-\xi)^2) d\xi$$

Пробовал представить косинус как действительную часть от $\exp(-i\xi)$ и свернуть полный квадрат под экспонентой, но тогда получится, что под полным квадратом будет комплексное число. Это будет интеграл Пуассона или уже нет?

[Otta]

Вы лучше наоборот, сделайте замену типа $t=x-\xi$, возможно, с коэффициентом, с тем, чтобы потом косинус раскидать на две экспоненты и получить преобразование Фурье от его собственной функции (ну или похожей на то). Как-то так.
(Можно, конечно, не делать замену, а пользоваться уже готовыми свойствами преобразований Фурье, но плясать стоит именно в этом направлении.)

[B@R5uk]

Можно внести косинус под экспоненту, преобразовать квадратичный трёхчлен под экспонентой, получится Гауссов интеграл, сдвинутый вдоль мнимой оси и отмасштабированный вдоль действительной, и умноженный на коэффициент. Тем не менее его значение всё тоже (обоснование -- аналитичность подынтегральной функции на всей комплексной плоскости).

[Otta]

B@R5uk
По сути, Вы предлагаете заняться вычислением преобразования Фурье от собственной функции с нуля. Тоже интересно, конечно.

[B@R5uk]

Не дочитал до конца вопрос, сори.

gammaker в сообщении #956685 писал(а):

Это будет интеграл Пуассона или уже нет?

И да и нет. Отличие в том, что после замены переменной интеграл будет браться не по действительной прямой комплексной плоскости, а по прямой, параллельной ей, но смещённой вдоль мнимой прямой. Тем не менее, значения по любой такой прямой у интегралов совпадают. Ответ на вопрос "Почему?" даёт ТФКП.

[Pphantom]

Вообще говоря, это готовая свертка двух стандартных функций, фурье-образы которых известны. Ее фурье-образ получается мгновенно, а обратное преобразование сделать несложно.

[gammaker]

Спасибо большое всем за ответы. Этот интеграл посчитал, задачу дорешал. Сейчас буду решать другую задачу. Там тоже какой-то нехороший интеграл должен получиться, напишу его в эту тему.

-- 05.01.2015, 17:57 --

Вот второй интеграл:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

Мне советовали его посчитать с помощью вычетов, но я так и не понял, каким образом. Ведь в числителе стоит не многочлен и не экспонента вида $\exp(-i \lambda x)$.

[Slow]

gammaker в сообщении #956729 писал(а):

Ведь в числителе стоит не многочлен и не экспонента вида $\exp(-i \lambda x)$.

И что? Вы хоть попробовали?

[gammaker]

Slow в сообщении #956883 писал(а):

И что? Вы хоть попробовали?

Попробовал, но получил явно что-то не то, потому что судя по ответу к задаче должен получиться интеграл ошибок erfc. Я даже не могу представить, откуда он берётся, но если считать через вычеты, он не получается.

[Lia]

gammaker
Вас в Карантин унести, или сами попытки решения приведете?

[gammaker]

Вычет подынтегральной функции в полюсе первого порядка $il$ равен

$$\frac{\exp(\alpha l^2)}{2il}$$

Умножаю на $2\pi i$ и получаю интеграл

$$\frac{\pi}{l}\exp(\alpha l^2)$$

Сомневаюсь, что это правильно. Как я уже писал, в ответе был $erfc(\frac{l}{2a\sqrt{t}})$.

[Otta]

Чтобы так считать, нужно, чтобы условия леммы Жордана выполнялись. Вы их проверили? Не всегда же интеграл по прямой равен (с точностью до известного множителя) сумме вычетов по верхней полуплоскости.

[ex-math]

Вычеты здесь не помогут, пробуйте что-нибудь еще.

[Утундрий]

gammaker в сообщении #956729 писал(а):

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

Для начала, параметр здесь один. Сообразите, каким образом интеграл приводится к виду $\frac{1}{l}f\left( {\alpha l^2 } \right)$.

[B@R5uk]

ex-math в сообщении #956958 писал(а):

Вычеты здесь не помогут

Почему же? Можно попробовать преобразованием переменной замкнуть бесконечную прямую действительной оси в какую-нибудь окружность. Внутри неё наверняка окажется полюс, иначе бы интеграл равнялся бы нулю.