2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:23 
B@R5uk в сообщении #957040 писал(а):
Можно попробовать преобразованием переменной замкнуть бесконечную прямую действительной оси в какую-нибудь окружность.

И доказывать сходимость интеграла от неограниченной в окрестности бесконечности функции к нулю. Ага.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:46 
Аватара пользователя
Простите, не понял. Не ограничена какая функция?

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 01:48 
Подынтегральная.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:00 
Аватара пользователя
Так вроде ж ограничена:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$
И очень быстро стремится к нулю.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:05 
Нет, эта экспонента на мнимой оси неограниченна. Вам не удастся доказать, что интеграл по замыкающей дуге стремится к нулю, это неверно.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:11 
Аватара пользователя
Возможно, из периодичности числителя получится какое-то рекуррентное соотношение между интегралами данного типа?

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 02:17 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #957067 писал(а):
Вам не удастся доказать, что интеграл по замыкающей дуге стремится к нулю
Нет, Вы не поняли. Я же совсем другое предложил. Конформно отобразить действительную ось на окружность в комплексной плоскости и интегрировать по этой окружности. Да, поведение подынтегральной функции в результате замены переменной может испортиться, но это ещё надо проверить.

-- 06.01.2015, 04:05 --

Мне нравится такая замена переменных:
$$\xi =il\frac{1-i\zeta }{1+i\zeta }$$
Она позволяет интегрирование по прямой $-\infty <\xi <+\infty $ заменить интегрированием по кругу $\left| \zeta  \right|=1$, при этом часть подынтегральной функции (если я не ошибся с выкладками -- надо проверить) преобразуется очень красиво:
$$\frac{d\xi }{{{l}^{2}}+{{\xi }^{2}}}=-\frac{i d\zeta }{2{{l}^{2}}\zeta }$$
Дальше уже вычеты. Однако возникает проблема: особая точка попадает на контур интегрирования, возможно она всю задумку сведёт псу под хвост. А ещё надо направления интегрирования сверить.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 03:48 
gammaker в сообщении #956729 писал(а):
Вот второй интеграл:
$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{\exp(-\alpha\xi^2)}{l^2+\xi^2} d\xi$$

И в нем явно чего-то не хватает. Потому что такого ответа
gammaker в сообщении #956948 писал(а):
в ответе был $\operatorname{erfc}(\frac{l}{2a\sqrt{t}})$.
из него получиться не может по меньшей мере в силу отсутствия параметра $t$ в исходном интеграле. Где, похоже, тоже была какая-то свертка. И даже если и так. Очень грубое изучение асимптотики интегралов при $\alpha\to \infty$: первый стремится к нулю, второй - к единице.

По всей видимости, имеет смысл пересчитать, - если, конечно, есть уверенность в верности ответа. :)

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 13:32 
Аватара пользователя
B@R5uk
Не получится. Особую точку $\zeta=i$ придется обходить по дуге окружности малого радиуса, чтобы замкнуть контур. На $\xi$-плоскости этой дуге будет соответствовать та самая большая дуга, от которой Вы хотели убежать.

-- 06.01.2015, 14:18 --

Дифференцирование по параметру дает ответ, и там действительно присутствует $\mathrm{erfc}$.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 15:23 
Аватара пользователя
ex-math в сообщении #957210 писал(а):
Дифференцирование по параметру дает ответ
Ну, по эль дифференцировать, похоже, нет смысла, а дифференцирование по альфа приводит к дифференциальному уравнению (если я не ошибся с выкладками):$$\begin{align}
  & \frac{dI}{d\alpha }=-\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}+{{l}^{2}}I \\ 
 & I\left( 0 \right)=\frac{\pi }{l}  
\end{align}$$Оно несомненно решается. Но это тот самый путь?

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 16:16 
Аватара пользователя
B@R5uk в сообщении #957265 писал(а):
это тот самый путь?

Зависит от того, насколько строго следует соблюдать рекомендацию решать непременно вычетами.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 19:40 
Утундрий в сообщении #957288 писал(а):
Зависит от того, насколько строго следует соблюдать рекомендацию решать непременно вычетами.

Непременно с вычетами считать не заставляют. Это просто была рекомендация от преподавателя, у которого я спросил, как посчитать такой интеграл. Раз уж с вычетами просто не получится, то думаю, что углубляться в сложности не надо.
Попробую с дифференцированием по параметру.

Кстати, по поводу параметра $t$. Чтобы упростить формулы, я ввёл обозначение $\alpha=\frac{1}{4a^2t}$. А часть ответа с $erfc$ я прямо из ответа записал, забыв пояснить, что это в других обозначениях.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 21:25 
Посчитал второй интеграл, получилось
$$ \frac{\pi}{l}e^{l^2\alpha} erfc(l\sqrt{\alpha}) $$
С ответом задача почти сходится, но есть лишний множитель $\sqrt{\pi}$. Я три раза проверил вычисления, вроде всё верно.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 21:28 
Аватара пользователя
Верно. Множитель может быть от того, что Вы с задачником по-разному определяете $\mathrm{erfc}$. Это легко проверить -- Ваш интеграл при $\alpha=0$ равен $\pi/l$.

 
 
 
 Re: Помогите посчитать интегралы
Сообщение06.01.2015, 22:05 
ex-math в сообщении #957559 писал(а):
Верно. Множитель может быть от того, что Вы с задачником по-разному определяете $\mathrm{erfc}$.

В том-то и дело, что я определяю $\mathrm{erfc}$ так же, как в лекциях, которые у нас читает сам автор этого задачника. Это же вроде общепринятая функция, разве могут быть какие-то неоднозначности в её определении?

 
 
 [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group