удар частицы об стенку

[sup]

А это условие, что сила реакции действует только тогда, когда частица находится на стенке струна касается "стенки". Тут, конечно, не совсем стенка. Но неформально это так.

А почему решение "нефизично"? Что посеешь - то и пожнешь. Я думаю, что уже десяток гармоник дадут вполне приемлемую картинку. Да достаточно добавить $\sin 3x$ после удара. Уже начнет формироваться центральный прогиб.

[sup]

Поглядел 10, 20 и 40 гармоник. Сравнивал с точным решением. На мой взгляд очень хорошая динамика. Там, похоже, получается периодическое решение.

[Oleg Zubelevich]

а решение с одной гармоникой (приведенное выше) это тоже точное решение.

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #954901 писал(а):

а решение с одной гармоникой (приведенное выше) это тоже точное решение.

И что нефизичного в полученном решении?
Оно просто идеально моделирует отражение от стенки $u(x,t) \leqslant 1/2\sin x$.
А если Вы настаиваете на том, что оно моделирует отражение от стенки $u(x,t) \leqslant 1/2$, то это не решение плохое, а модель.

[Oleg Zubelevich]

Давайте на пару шагов назад отойдем. Выпишите четко постановку задачи для струны на интервале $[0,\pi]$ с ударом о стенку $u\le 1/2$. никаких внешних по отношению к струне сил, кроме ударных реакций и реакций в закреплении концов в точках $0,\pi$ нет. Удар абсолютно упругий

[Red_Herring]

supА Вы бы не могли сделать "графическое" изложение своих расчетов—в виде последовательных графиков или в виде кино? При этом было бы интересно посмотреть при разных $0<а<1$ решение с начальными условиями: $u|_{t=0}=0$, $u_t|_{t=0}=\sin (x)$, и с ограничением $u\le a$.

С тем чтобы не думать о концах можно рассмотреть $2\pi$ периодические по $x$ решения.

[sup]

Существует две эквивалентных постановки.
1. Уравнение с неизвестной силой реакции стенки
$u_{tt} - u_{xx} = h(x,t)$
$u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x)$
$h(x,t) \leqslant 0$
$u(x,t) \leqslant 1/2$
$(u(x,t)-1/2)h(x,t) = 0$
2. Вариационное неравенство. Для любой гладкой $\varphi(x,t) \leqslant 1/2$
$(u_{tt} - u_{xx})(u- \varphi) = \leqslant 0$
$u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x)$
$u(x,t) \leqslant 1/2$

Все эти соотношения понимаются в смысле распределений.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955041 писал(а):

Существует две эквивалентных постановки.
1. Уравнение с неизвестной силой реакции стенки
$u_{tt} - u_{xx} = h(x,t)$
$u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x)$
$h(x,t) \leqslant 0$
$u(x,t) \leqslant 1/2$
$(u(x,t)-1/2)h(x,t) = 0$
2. Вариационное неравенство. Для любой гладкой $\varphi(x,t) \leqslant 1/2$
$(u_{tt} - u_{xx})(u- \varphi) = \leqslant 0$
$u(x,0) = u_0(x), u_t(x,0) = u_1(x)$
$u(x,t) \leqslant 1/2$

Все эти соотношения понимаются в смысле распределений.

а где здесь написано, что удар абсолютно упругий?

[sup]

Red_Herring в сообщении #955040 писал(а):

или в виде кино

Я так и сделал
Но я пока не знаю как это лучше выложить для обозрения. Я работаю в C++ Visual Studio. Быстренько сваял простейшее приложение. Есть Widows "экзешник", можно собрать его статически (чтобы ДЛЛ-ки не запрашивал). Подумаю и выложу для желающих.

Oleg Zubelevich
Дык раньше уже описывали локальный закон сохранения энергии. Я просто не выписал его.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955046 писал(а):

Дык раньше уже описывали локальный закон сохранения энергии. Я просто не выписал его.

Выпишите его пожалуйста еще раз, для данного конкретного сылучая, когда никаких активных сил, кроме ударных нет.

[Red_Herring]

(Кино)

Кино лучше всего с кодеком H264. Тогда его можно включить в pdf и Адобе Ридер 7+ его покажет (что хорошо для beamer презентаций).

[sup]

Да вот он

Red_Herring в сообщении #951862 писал(а):

$$\iint \Bigl[-(u_t^2+u_x^2)\frac{\partial}{\partial t} \phi + 2u_xu_t\frac{\partial}{\partial x}\phi -2fu_t\phi\Bigr]dxdt=0$$

Red_Herring
Я не совсем киношку сделал Простое приложение. Просто считает и тут же рисует на экран. Удобно тем, что я могу при желании кнопками и менюшками менять что угодно на лету.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955052 писал(а):

а вот он
Red_Herring в сообщении #951862

писал(а):

$$\iint \Bigl[-(u_t^2+u_x^2)\frac{\partial}{\partial t} \phi + 2u_xu_t\frac{\partial}{\partial x}\phi -2fu_t\phi\Bigr]dxdt=0$$

что такое $f$?

[Red_Herring]

sup в сообщении #955052 писал(а):

Я не совсем киношку сделал Простое приложение. Просто считает и тут же рисует на экран. Удобно тем, что я могу при желании кнопками и менюшками менять что угодно на лету.

Это удобно—но неуниверсально (not portable).

Oleg Zubelevich в сообщении #955053 писал(а):

что такое $f$?

Правая часть—у нас она $=0$.

Интересно, а как происходят следующие удары—или их может и не быть за счет порождения высших гармоник и соответственно уменьшения амплитуды?

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #955058 писал(а):

Правая часть—у нас она $=0$.

правая часть чего равна нулю? правая часть волнового уравнения равна $h$, как только что было написано.Повторяю вопрос: чему равно $f$?