Надо различать "свежие" разрывы, которые возникают в момент удара. И "контактные" разрывы - результат эволюции тех самых, исходных. На исходных разрывах для вектора нормали выполняется неравенство

. Это условие означает, что скорость точки разрыва больше скорости распространения возмущений. Дальше уже струна просто отойдет от стенки. Нас будет интересовать именно момент удара и что там будет сразу же после.
На линии разрыва

. Значит вектор нормали

. Если слева и справа решение гладкое, то нормаль слева и справа может отличаться только множителем. Значит на линии разрыва

Сохранение энергии означает, что

Пусть линия разрыва одна. Тогда слева и справа от линии выполнено соотношение

Интегрируем слева и справа, суммируем и учитываем закон сохранения энергии

. Значит на линии разрыва равен 0 скачок функции

Форма знакоопределенная, отсюда следует, что

просто меняют знак.
Отсюда легко следует, что

во всем цилиндре в смысле распределений. Ну, умножаем на пробную функцию, интегрируем, на линии следы посокращаются.
-- Чт янв 01, 2015 17:49:17 --Виноват, не заметил реплику.
Не понял: если решение такое то до

прогиб растет а потом убирается?
Некоторое время это будет решением. В точности до того момента, пока точка контакта бежит со скоростью больше 1. Как только скорость станет равна 1, струна отойдет от стенки. И такая простая функция уже не будет решением.