удар частицы об стенку

[Oleg Zubelevich]

возможно надо аналитичность предполагать

[sup]

Не, это слишком тяжелое условие.
В одномерном случае оно, может, и пройдет. Хотя я пока еще не уверен.
А вот уже в двумерном случае начнутся новые проблемы, о которых говорил Red_Herring. Это когда точка на границе и скорость направлена вдоль стенки (касательная). Тут уже начнет влиять геометрия границы. А с ней что делать?
С другой стороны, доказательство разрешимости методом штрафа довольно простое. Разрешимость есть при довольно общих условиях (там можно даже рассматривать $f(x,t)$). Единственности нет. Ну и что. Далась всем эта единственность. В "простых" случаях она есть. Вон, неустойчивое равновесие. Тоже нет единственности. Все понимают, что это "какая надо" нога неединственность.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #953615 писал(а):

Вон, неустойчивое равновесие. Тоже нет единственности

в смысле? в какой системе нет?

sup в сообщении #953615 писал(а):

Не, это слишком тяжелое условие.

нормальное для этой науки

sup в сообщении #953615 писал(а):

Единственности нет. Ну и что. Далась всем эта единственность.

неединственность нефизична, только и всего. либо надо надо доказывать ,что наччальных условий с неединственностью\непродолжаемостью мало, а скорее всего окажется, что почти все начальные условия дают хорошие решения, устроенные по принципу "угол падения равен углу отражения". И сдается мне, что для установления такого сорта вещей отдельный аналииз "попрыгунциков" и тп не потребуется, как и метод штрафа. Конечно, мало\почти все, это в бесконечномерном случае надо будет прояснять.

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #953714 писал(а):

неединственность нефизична

Вот с этим я спорить не буду. Именно так. А если неединственность вдруг окажется "физичной". Тогда можно будет за нее не цепляться?
Неустойчивое равновесие шарика на горке, например. Ну нет единственности решения. Никто особо не убивается по этому поводу. Именно потому, что такая неединственность физична и наблюдается в опыте.

Oleg Zubelevich в сообщении #953714 писал(а):

либо надо надо доказывать ,что наччальных условий с неединственностью\непродолжаемостью мало

А как определить: мало, это сколько? У меня нет каких-то конкретных результатов, но кажется, что таких примеров "мало". Да даже если вдруг получится "много". И что? Вот уж точно, гильотина как средство от перхоти. Кстати, еще не известно, поможет ли аналитичность избежать проблем. Даже в одномерном случае.

Oleg Zubelevich в сообщении #953714 писал(а):

И сдается мне, что для установления такого сорта вещей отдельный аналииз "попрыгунциков" и тп не потребуется, как и метод штрафа.

Анализ попрыгунчиков Вам понадобится даже в аналитическом случае. Например, чтобы доказать, что их нет, или там нарушится аналитичность. А метод штрафа ... Вы, видимо, не замечаете, что метод штрафа дает, как раз, более адекватные в физическом смысле уравнения. И разрешимость у них получается легко и естественно. Ну а то, что пределы по малому параметру устроены экзотично, разве это не представляется Вам как минимум понятным. Ну да, вот такая странная предельная структура получается. Несколько постов назад Вы же и заявили, что эти уравнения - наивное дилетантство. Вот уж спецы когда возьмутся, ужо они ... Так почему Вы ждете от этих уравнений единственности из физических соображений? Это предельная структура, и она отражает сложное поведение "физических" решений при малых шевелениях или изменении параметра. Я уже много раз говорил, что при определенных обстоятельствах настоящие решения могут проявлять известную неустойчивость. Похоже, Вам такие вопросы не интересны. Ну и ладно. А кому-то интересно.
Вообще у меня стойкое впечатление, что Вы просто пытаетесь втиснуть эту задачу в какие-то "комфортные" рамки. А то что в них не помещается - отрезать и выкинуть.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #953867 писал(а):

А как определить: мало, это сколько?

sup в сообщении #953867 писал(а):

Анализ попрыгунчиков Вам понадобится даже в аналитическом случае.

Вы всетаки мой предыдущий пост прочитайте аккуратно.

sup в сообщении #953867 писал(а):

Похоже, Вам такие вопросы не интересны.

нет, мне как раз очень интересны, я про "попрыгунчики" первый раз от Вас услышал, не теперь , а давно еще Вы эту тему поднимали. Просто будьте готовы, что на каком нибудь (сферическом в вакуме ) семинаре по динамическим системам люди Вам скажут: "вот ведь наверняка решения типа "угол падения равен углу отражения" образуют множество полной меры в фазовом пространстве, а Вы нам тут большую науку на множестве меры нуль толкаете". ВОт на такие реплики надо уметь убедительно отвечать, только и всего. И я совсем не хочу Вас обидеть, поймите правильно.

[sup]

Я вовсе не обижаюсь. С чего бы это.
Мне, как раз, весьма интересна та полемика, которая здесь развернулась. На семинаре по динамическим системам мне вряд ли придется выступать. Просто я стараюсь "гнуть свою прямую линию". Еще давным-давно я задавался вопросом: зачем вообще решать эти уравнения. Пока была надежда, что есть единственность - все понятно, а вот потом - нет. Конечно, к этой задаче можно относиться просто как к какой-то головоломке. Вот трудная задачка, имеет некоторое отношение к реальным физическим задачам. Можем такое решить? Но мне такой подход не очень нравится. Можно много таких задачек напридумывать. Для себя я уже давно решил, что здесь есть два интересных аспекта. Чисто технический - нет хороших оценок. Что с этим делать и как решать? И "иделогический" - как обстоят дела с пределом штрафных решений. Я пытаюсь придумывать всякие экзотические примеры, когда есть сходимость, нет сходимости, паталогии всякие. Причем проблема еще и в том, что хочется разобраться с этими вопросами в абстрактной форме. С операторами в гильбертовом пространстве. Конечно, младенцу ясно, что за этим стоит или волновое уравнение или что-нибудь в этом духе. Но абстрактный подход позволяет выделить суть проблемы, а не частные особенности. Вот что меня привлекает.
Вот, например, удар об гиперплоскость. Иногда для такой задачи есть единственность, а иногда нет. Почему так? Оказывается, это зависит от функционала, определяющего эту гиперплоскость. Если этот функционал над $L_2$, тогда единственности нет. А вот если он над $W_2^{\nu}$, где $\nu > \nu_0$, тогда единственность есть. (Это так, очень упрощенно. Есть более точное условие). По мне так весьма интересно выяснить, что тут происходит. Хотя я не знаю, есть ли у задач с такими странными ограничениями физический смысл.

[Oleg Zubelevich]

у меня возникло такое предложение. давайте расссмотрим волновое уравнение в следующей конечномерной постановке.

пусть $u_{tt}=a^2u_{xx},\quad x\in I=[0,\pi],\quad u\mid_{\partial I}=0.$ Струна бьется о потолок $u(t,x)\le c.$

Решение будем искать в виде полинома $u=\sum_{k=1}^mu_k(t)\sin(kx)$. Если угодно, начальные условия будем ставить лишь такого вида. Получилась конечномерная динамическая система с конфигурационным пространством $N=\{(u_1,\ldots,u_m)\in\mathbb{R}^m\}$ и стенкой в конфигурационном пространстве $M=\{(u_1,\ldots,u_m)\in\mathbb{R}^m\mid\max_{x\in I} \Big\{\sum_{k=1}^mu_m\sin(kx)\Big\}=c\}$.
Как я понимаю, $M$ это кусочно гладкое гипермногообразие в $N$.

На самом деле уже на этом этапе имеется сильный произвол: мы же можем после удара добавить и другие гармоники с $k>m$. Это уже источник неединственности. Но не будем этого делать, останемся в $\mathbb{R}^m$.
Какую еще гадость можно ожидать? при увеличении $m$ углы на многообразии $M$ будут лежать все чаще и в пределе на $M$ вообще живого гладкого места не останется, это другой источник некорректности.
Скажу сразу, формул не писал, это я просто треплюсь.

Первое, что приходит в голову. Возьмем $m=2$ (или даже $m=1$) -- тут все можно явно написать и построить решения по принципу "угол падения равен углу отражения" (конечно, надо брать решения, которые не попадают в особенности многообразия $M$) . Как будет выглядеть движение струны, которое отвечает этим решениям? Это движение будет соответствовать нашей интуиции или это будет какая-нибудь дичь? Я бы начал с таких вещей.

[sup]

Нет, не будет дичь (для "больших" $m$). В одномерном случае (струна) можно выбрать подпоследовательность, которая сойдется к какому-то решению. А вот какому, я не знаю. Есть подозрение, что будет решение с законом сохранения энергии. Но доказательства нет. А вот в двумерном (мембрана) и более-мерном - не знаю что будет. Есть подозрение, что там тоже будет сходимость, но этого сегодня никто не знает. Это и есть та техническая проблема, о которой я говорил. Оценок не хватает.

-- Вт дек 30, 2014 00:13:01 --

Я даже могу на качественном уровне объяснить, почему возникают трудности. При ударе об стенку, энергия перемещается из одних гармоник в другие. Стенок "много" и ударов может быть "много". Поэтому за конечное время энергия может переместиться куда угодно (точнее, мы не знаем куда). Если мы имеем только слабую сходимость, то в пределе можно вообще 0 получить. Ну или какую-нибудь ерунду, а не решение. Но даже если и решение, то энергия может "частично потеряться". Как следствие, пределом упругих решений будет неупругое решение. Некоторые примеры на эту тему имеются.

[Oleg Zubelevich]

скажите , а Вам не кажется странным, что при $m=1$ струна "ударяется" о стенку одной единственной точкой и летит назад вниз? Каким образом удар от одной точки передался мгновенно всем остальным точкам струны?

[sup]

Она ударяется не об точку, а об "синус". Стенка
$\int u(x,t) \sin x dx = C$.
В сущности, Ваши ограничения описывают некий многогранник в $L_2$. Каждая стенка - функционал. Можно рассматривать задачу во всем пространстве с таким множеством ограничений (то, что Вы назвали "добавлять гармоники"), а потом переходить к пределу. А можно принудительно искать решение в конечномерном пространстве. С точки зрения возникающих проблем, разница не велика. Все равно мы про них мало что знаем. Разве что энергетическую оценку. А она дает только слабую сходимость. А этого, вообще говоря, мало.

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, давайте формально:

$$u_{tt}=u_{xx},\quad I=[0,\pi],\quad u|_{\partial I}=0,\quad u(t,x)\le 1/2.$$

Данная задача имеет следующее решение (в смысле распределений, как выше):

$u(t,x)=\sin t\sin x,\quad t\in[0,\pi/6]$

и

$u(t,x)=\Big(\frac{\sqrt 3}{2}\cos t-\frac{1}{2}\sin t\Big)\sin x,\quad t\in[\pi/6,A].$
($A$ -- некоторое число немного большее $\pi/6$.)

И это решение глупое , к физике оно отношения не имеет.

[sup]

Ну так что Вас удивляет? Вы взяли всего лишь одну (!) гармонику. Вот и получили лишь некий намек на решение. По сути дела, Вы решили задачу со специальной правой частью

$$u_{tt} - u_{xx} = h(t) \sin x $$

$$u(x,t) \leqslant 1/2, \quad h(t) \leqslant 0, \quad (u(x,t) - 1/2)h(t) = 0 $$

Настоящее решение после удара выглядит как буква М. В центре, синусоидальный прогиб. В каждый момент со стенкой взаимодействуют 2 точки. В какой-то момент вся эта конструкция отойдет от стенки и больше ударов не будет. (Вроде как у Шацман это доказано). Если соберусь, попробую посчитать на компе с десяток гармоник. Посмотрю что там получается.

[Oleg Zubelevich]

стер

[sup]

Если в правой части стоит 0, то в смысле распределений решение единственно и равно $\sin t \,\sin x$.
Коль скоро у Вас решение "вдруг" изменилось в момент времени $t = \pi /6$, то это и означает, что в правой части есть некая сила и сосредоточена она в точности в этой точке. Так что правая часть имеет вид

$$F \delta(t- \pi/6)\sin x$$

С некоторой константой $F$, которую лень выписывать.Ну в самом деле,

$$u_t(x,t) = \begin{cases} \cos t \,\sin x,&\text{если $t < \pi/6$;}\\ -(\frac{1}{2}\cos t + \frac{\sqrt 3}{2}\sin t)\sin x,&\text{если $t > \pi/6$;} \end{cases}$$

Мы видим разрыв производной. При дифференцировании будет дельта-функция.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #954356 писал(а):

По сути дела, Вы решили задачу со специальной правой частью

$$u_{tt} - u_{xx} = h(t) \sin x $$

$$u(x,t) \leqslant 1/2, \quad h(t) \leqslant 0, $$

да, согласен, следовало дописать в правую часть реакцию стенки в момент удара. Да, это решение уравнения с правой частью, что Вы дописали. Что изменилось по сути? Решение построено по принципу "угол падения равен углу отражения", энергия сохраняется, решение нефизичное.

sup в сообщении #954356 писал(а):

(u(x,t) - 1/2)h(t) = 0 $$

а откудаа взялось это равенство?