2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение26.12.2014, 10:46 
Аватара пользователя


25/02/11
234
sup в сообщении #952471 писал(а):
Я так и не понял, добрались Вы до ответа или нет. Но для кубических полиномов предполагаемое решение легко выписывается в виде
$x = \frac{t^2}{T^2}(x_0 + \alpha(t-T))$

sup, ну да, выписал после "Итого". А как у Вас такая компактная форма получилась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение26.12.2014, 11:10 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Хм. А Вы сами прикиньте.
Как выглядит кубический полином, который вместе с первой производной обращается в 0 в нуле, и в точке $t=T$ принимает заданное значение?
Для этого не надо долгих и трудных вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение27.12.2014, 14:51 
Аватара пользователя


25/02/11
234
sup, да, с этим понятно.
А Вы как-то привязывали $x(T)$ к $u(t)\ ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение27.12.2014, 15:14 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Нет. А зачем? Я обозначил $x(T) = x_0$. Потом выписал общий вид функции, на которой $\dot{x}(T)$ принимает минимум/максимум.
Ну а дальше надо так подобрать $\alpha$, чтобы был и максимум производной и неравенство.
$\int\limits_{0}^{T}(\ddot{x}(t))^{2}dt \leqslant  1 $
Вот и все. Ну тут надо немножко посчитать. Условный экстремум. Выписываем через $\alpha$ производную и тот интеграл. Найти максимум при условии ... и тд. Для облегчения жизни полезно ввести новую переменную $\tau = t/T$. Но это так. Мелкая оптимизация усилий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение27.12.2014, 15:36 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Я имел в виду такую форму:
${x}_{1}=x,\ {x}_{2}=\dot{x};\ {x}_{2}=\int_{0}^{T}u(t)dt\rightarrow \max ,\ \int_{0}^{T}{u}^{2}(t)dt\leq 1 ,\ {x}_{1}=\int_{0}^{T}(\int_{0}^{t}u(\tau )d\tau )dt=|\varphi (t,\tau )=\begin{cases}
 & \text{} 1,\ 0\leq \tau \leq t,  \\ 
 & \text{} 0,\ \tau >t 
\end{cases}|=\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )u(\tau )d\tau )dt=\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )dt)u(\tau )d\tau =...=\bar{{x}_{0}}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение27.12.2014, 15:49 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Как там ...
Вы, профессор, воля ваша, что-то мудреное написали. Люди вас не поймут. (с)
Вы экстремали получили? Да. Это кубические полиномы? Да. Определенного вида? Да.
Задача свелась к анализу квадратной параболы. Чего еще вы хотите?
Ну, можно и так, как Вы написали. Там, правда, интеграл от $\varphi$ явно считается и его можно прямо подставить. Но это ладно.
В конечном итоге Вы получите то же самое. Вам непременно нужно знать что такое $u$?
Это просто $u = \ddot{x}$. Подставьте выражение для $x$ и получите $u$. Но я не понимаю зачем это все? Все, что дает вариационное исчисление, это экстремали. Вы их уже получили.
Видимо мы друг друга не понимаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение27.12.2014, 16:05 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Кстати, $\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )dt)u(\tau )d\tau =\int_{0}^{T}\tau u(\tau )d\tau \ ?$
У меня нет намерений Вас доставать, честно. Единственное желание - разобраться в вопросе. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение28.12.2014, 00:08 
Аватара пользователя


25/02/11
234
sup, не то я ляпнул: $x=\int_{0}^{T}(T-t)u(t)dt.$ Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение28.12.2014, 19:02 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Я же уже сказал, я не понимаю что Вы делаете. :-)
Можете связно изложить свое решение? А то у Вас какие-то обрывки. Их трудно комментировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение28.12.2014, 20:36 
Аватара пользователя


25/02/11
234
sup, ну ладно, хорошо. Вернемся к Вашему предложению.
Если брать за основу $x=\frac{{t}^{2}}{{T}^{2}}[{x}_{0}+\alpha (t-T)],$ то я получил следующее:
$\dot{x}=\frac{t}{{T}^{2}}[2{x}_{0}+\alpha (3t-2T)].$ Тогда $\dot{x}\rightarrow \max:\ \begin{cases}
 & \text{} \alpha <0,\ t<\frac{2T}{3} \\ 
 & \text{} \alpha >0,\ t>\frac{2T}{3}.  
\end{cases}$
Далее,
$\ddot{x}=\frac{1}{{T}^{2}}[2{x}_{0}+\alpha (6t-2T)],\ \int_{0}^{T}{\ddot{x}}^{2}dx\leq 1\ \Rightarrow \ {(2\alpha T+{x}_{0})}^{2}\leq {T}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}.$
Только извлечь из этого что-то толковое не получается, к сожалению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение28.12.2014, 20:59 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Вы в какой точке хотите получить максимум? В каждой точке $t$? Или только в одной?
Далее, что мешает Вам выбрать параметр $\alpha$ каким угодно?
В интеграле должно быть $dt$, я думаю.
И еще. Один маленький, но, на мой взгляд, полезный трюк.
$\int \limits_0^T {\ddot x}^2 dx = (\dot x \ddot x - x \dddot x)\Bigr{|}^T_0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение28.12.2014, 22:36 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Цитата:
Вы в какой точке хотите получить максимум? В каждой точке $t$? Или только в одной?

sup, ну в точке $T$ получается.
Цитата:
Далее, что мешает Вам выбрать параметр $\alpha$ каким угодно?

Ничего, кроме ограничения. Т.е. можно взять $\alpha =-\frac{x_{0}}{2T}\ ?$
Цитата:
В интеграле должно быть $dt$, я думаю.

А, ну конечно. Просто голова кругом идет... медленно, но верно. :-)
Цитата:
И еще. Один маленький, но, на мой взгляд, полезный трюк.
$\int \limits_0^T {\ddot x}^2 dx = (\dot x \ddot x - x \dddot x)\Bigr{|}^T_0$

Разве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение29.12.2014, 07:51 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
1r0pb в сообщении #953728 писал(а):
Разве?

А что, интегрирование по частям перед НГ применять возбраняется?
1r0pb в сообщении #953728 писал(а):
ну в точке $T$ получается.

Тогда что Вы здесь понаписали. Я не увидел там и намека на $\dot{x}(T)$.
Ясно же, что для увеличения $\dot{x}(T)$ можно и нужно как-то рулить параметром $\alpha$. Но этому препятствует ограничение на интеграл. Ну так надо выписать и то и другое и выбрать оптимальное значение $\alpha$.
Отмечу, что $\dot{x}(T)$ и $\alpha$ связаны простым линейным соотношением. Так что с его помощью можно исключить $\alpha$ из неравенства. Вот и получится ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение29.12.2014, 09:53 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Цитата:
А что, интегрирование по частям перед НГ применять возбраняется?

sup, нет, но $\int\limits_{0}^{T} ^{2} \ddot{x} ^{2} dt=\left.{ \dot{x}\ddot{x} }\right|_{ 0 }^{ T }-\int\limits_{0}^{T}\dot{x}\dddot{x}dt.$
Но это все ладно. Теперь пазл сложился. Очевидное было близко, но почему-то я не смотрел в ту сторону. :-) Спасибо еще и еще раз!

 Профиль  
                  
 
 Re: Оптимальное управление
Сообщение29.12.2014, 16:27 
Аватара пользователя


25/02/11
234
Только в голове не укладывается, почему $\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )dt=T-\tau ;\ \varphi (t,\tau )=\begin{cases}
 & \text{} 1,\ 0\leq t\leq \tau ,  \\ 
 & \text{} 0,\ t>\tau . 
\end{cases}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group