Оптимальное управление

[1r0pb]

sup в сообщении #952471 писал(а):

Я так и не понял, добрались Вы до ответа или нет. Но для кубических полиномов предполагаемое решение легко выписывается в виде
$x = \frac{t^2}{T^2}(x_0 + \alpha(t-T))$

sup, ну да, выписал после "Итого". А как у Вас такая компактная форма получилась?

[sup]

Хм. А Вы сами прикиньте.
Как выглядит кубический полином, который вместе с первой производной обращается в 0 в нуле, и в точке $t=T$ принимает заданное значение?
Для этого не надо долгих и трудных вычислений.

[1r0pb]

sup, да, с этим понятно.
А Вы как-то привязывали $x(T)$ к $u(t)\ ?$

[sup]

Нет. А зачем? Я обозначил $x(T) = x_0$. Потом выписал общий вид функции, на которой $\dot{x}(T)$ принимает минимум/максимум.
Ну а дальше надо так подобрать $\alpha$, чтобы был и максимум производной и неравенство.
$\int\limits_{0}^{T}(\ddot{x}(t))^{2}dt \leqslant 1 $
Вот и все. Ну тут надо немножко посчитать. Условный экстремум. Выписываем через $\alpha$ производную и тот интеграл. Найти максимум при условии ... и тд. Для облегчения жизни полезно ввести новую переменную $\tau = t/T$. Но это так. Мелкая оптимизация усилий.

[1r0pb]

Я имел в виду такую форму:
${x}_{1}=x,\ {x}_{2}=\dot{x};\ {x}_{2}=\int_{0}^{T}u(t)dt\rightarrow \max ,\ \int_{0}^{T}{u}^{2}(t)dt\leq 1 ,\ {x}_{1}=\int_{0}^{T}(\int_{0}^{t}u(\tau )d\tau )dt=|\varphi (t,\tau )=\begin{cases} & \text{} 1,\ 0\leq \tau \leq t, \\ & \text{} 0,\ \tau >t \end{cases}|=\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )u(\tau )d\tau )dt=\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )dt)u(\tau )d\tau =...=\bar{{x}_{0}}.$

[sup]

Как там ...
Вы, профессор, воля ваша, что-то мудреное написали. Люди вас не поймут. (с)
Вы экстремали получили? Да. Это кубические полиномы? Да. Определенного вида? Да.
Задача свелась к анализу квадратной параболы. Чего еще вы хотите?
Ну, можно и так, как Вы написали. Там, правда, интеграл от $\varphi$ явно считается и его можно прямо подставить. Но это ладно.
В конечном итоге Вы получите то же самое. Вам непременно нужно знать что такое $u$?
Это просто $u = \ddot{x}$. Подставьте выражение для $x$ и получите $u$. Но я не понимаю зачем это все? Все, что дает вариационное исчисление, это экстремали. Вы их уже получили.
Видимо мы друг друга не понимаем.

[1r0pb]

Кстати, $\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )dt)u(\tau )d\tau =\int_{0}^{T}\tau u(\tau )d\tau \ ?$
У меня нет намерений Вас доставать, честно. Единственное желание - разобраться в вопросе.

[1r0pb]

sup, не то я ляпнул: $x=\int_{0}^{T}(T-t)u(t)dt.$ Верно?

[sup]

Я же уже сказал, я не понимаю что Вы делаете.
Можете связно изложить свое решение? А то у Вас какие-то обрывки. Их трудно комментировать.

[1r0pb]

sup, ну ладно, хорошо. Вернемся к Вашему предложению.
Если брать за основу $x=\frac{{t}^{2}}{{T}^{2}}[{x}_{0}+\alpha (t-T)],$ то я получил следующее:
$\dot{x}=\frac{t}{{T}^{2}}[2{x}_{0}+\alpha (3t-2T)].$ Тогда $\dot{x}\rightarrow \max:\ \begin{cases} & \text{} \alpha <0,\ t<\frac{2T}{3} \\ & \text{} \alpha >0,\ t>\frac{2T}{3}. \end{cases}$
Далее,
$\ddot{x}=\frac{1}{{T}^{2}}[2{x}_{0}+\alpha (6t-2T)],\ \int_{0}^{T}{\ddot{x}}^{2}dx\leq 1\ \Rightarrow \ {(2\alpha T+{x}_{0})}^{2}\leq {T}^{3}-3{{x}_{0}}^{2}.$
Только извлечь из этого что-то толковое не получается, к сожалению.

[sup]

Вы в какой точке хотите получить максимум? В каждой точке $t$? Или только в одной?
Далее, что мешает Вам выбрать параметр $\alpha$ каким угодно?
В интеграле должно быть $dt$, я думаю.
И еще. Один маленький, но, на мой взгляд, полезный трюк.
$\int \limits_0^T {\ddot x}^2 dx = (\dot x \ddot x - x \dddot x)\Bigr{|}^T_0$

[1r0pb]

Цитата:

Вы в какой точке хотите получить максимум? В каждой точке $t$? Или только в одной?

sup, ну в точке $T$ получается.

Цитата:

Далее, что мешает Вам выбрать параметр $\alpha$ каким угодно?

Ничего, кроме ограничения. Т.е. можно взять $\alpha =-\frac{x_{0}}{2T}\ ?$

Цитата:

В интеграле должно быть $dt$, я думаю.

А, ну конечно. Просто голова кругом идет... медленно, но верно.

Цитата:

И еще. Один маленький, но, на мой взгляд, полезный трюк.
$\int \limits_0^T {\ddot x}^2 dx = (\dot x \ddot x - x \dddot x)\Bigr{|}^T_0$

Разве?

[sup]

1r0pb в сообщении #953728 писал(а):

Разве?

А что, интегрирование по частям перед НГ применять возбраняется?

1r0pb в сообщении #953728 писал(а):

ну в точке $T$ получается.

Тогда что Вы здесь понаписали. Я не увидел там и намека на $\dot{x}(T)$.
Ясно же, что для увеличения $\dot{x}(T)$ можно и нужно как-то рулить параметром $\alpha$. Но этому препятствует ограничение на интеграл. Ну так надо выписать и то и другое и выбрать оптимальное значение $\alpha$.
Отмечу, что $\dot{x}(T)$ и $\alpha$ связаны простым линейным соотношением. Так что с его помощью можно исключить $\alpha$ из неравенства. Вот и получится ответ.

[1r0pb]

Цитата:

А что, интегрирование по частям перед НГ применять возбраняется?

sup, нет, но $\int\limits_{0}^{T} ^{2} \ddot{x} ^{2} dt=\left.{ \dot{x}\ddot{x} }\right|_{ 0 }^{ T }-\int\limits_{0}^{T}\dot{x}\dddot{x}dt.$
Но это все ладно. Теперь пазл сложился. Очевидное было близко, но почему-то я не смотрел в ту сторону. Спасибо еще и еще раз!

[1r0pb]

Только в голове не укладывается, почему $\int_{0}^{T}\varphi (t,\tau )dt=T-\tau ;\ \varphi (t,\tau )=\begin{cases} & \text{} 1,\ 0\leq t\leq \tau , \\ & \text{} 0,\ t>\tau . \end{cases}$