Оптимальное управление

[1r0pb]

Всех приветствую.
$\ddot{x}=u(t);\ x(0)=0,\ \dot{x}(0)=0;\ \int\limits_{0}^{T}u^{2}(t)dt \leqslant 1 .$
Нужно найти область достижимости $(x,\dot{x})\in \mathbb{R} ^{2}. $
Если перейти к системе $x_{1}=x,\ x_{2}=\dot{x}, $ то $x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2} )^{2} dt\leqslant 1.$
Можно ли так интерпретировать задачу: $\int\limits_{0}^{T}\sqrt{(\dot{x_1})^{2}+(\dot{x_2})^{2} }dt \to \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2} )^{2} dt\leqslant 1,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0\ ?$
Спасибо.

(Оффтоп)

Готов к тому, что будете бить по голове.

[1r0pb]

Точнее так: $\int\limits_{0}^{T} \sqrt{(x_{2} )^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}dt \to \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2})^{2}dt \leqslant 1,\ \dot{x_1}=x_2,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0.$

[cool.phenon]

То есть, заменить задачу о достижимости задачей об условной оптимизации. Большая неточность : из какого класса допустимые управления?

[1r0pb]

Цитата:

из какого класса допустимые управления?

cool.phenon, кусочно-непрерывного.

-- Чт дек 25, 2014 00:25:18 --

Я не представляю, как же все-таки увязать интегральное неравенство - связку.
Пытался через уравнение Эйлера найти экстремаль, но заткнулся на $\dot {x_{2}}=x_{2}\operatorname{tg}{(x_{2}+C_{1})}.$

[1r0pb]

Я получил две противоположные параболы, стыкующиеся в начале координат, с осью симметрии $Ox.$
Мне подсказали, что областью достижимости будет эллипс, поэтому слабо верится в правильность моего решения...

-- Чт дек 25, 2014 12:44:59 --

Забыл написать мой результат: ${{x}_{2}}^{2}\leq \frac{2}{\sqrt{T}}{x}_{1},\ t\in[0,T].$

[1r0pb]

Если взять ${u}^{2}(t)=\frac{1}{T},$ то как раз получается что-то параболическое.

[sup]

1r0pb в сообщении #951620 писал(а):

Точнее так: $\int\limits_{0}^{T} \sqrt{(x_{2} )^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}dt \to \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2})^{2}dt \leqslant 1,\ \dot{x_1}=x_2,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0.$

А откуда Вы взяли именно такой вид функционала? Я говорю о $\sqrt{(x_{2} )^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}$.

[1r0pb]

sup, а, надо было оговориться, что это длина дуги кривой, заданной параметрически.

[sup]

А при чем тут длина дуги? Или я чего-то не понимаю?

[1r0pb]

Но я остановился на варианте $\int\limits_{0}^{T} \sqrt{{(\dot{x_{1}})}^{2} +(\dot{x_{2}} )^{2}}dt \to \max ,\ \int\limits_{0}^{T}(\dot{x_2})^{2}dt \leqslant 1,\ x_{1}(0)=0,\ x_{2}(0)=0.$
Но нужно ли учитывать $\dot{x_1}=x_2 $ - вопрос.

-- Чт дек 25, 2014 23:27:36 --

sup в сообщении #952295 писал(а):

А при чем тут длина дуги? Или я чего-то не понимаю?

Пытался свести к более понятному для меня, ибо не знаком с ТУ. Но, видимо, ошибся.

[sup]

Цитата:

Я пытался свести к более понятному для меня, ибо не знаком с ТУ

Понятно.
И умножил на три, потому что вспомнил святую троицу (с).
Я бы посоветовал Вам найти максимум
$\dot x = \int\limits_{0}^{T} \ddot{x}(t)dt$
при условии
$\int\limits_{0}^{T} \ddot{x}^{2}(t)dt \leqslant 1 $
в классе функций
$\ x(0)=0,\ \dot{x}(0)=0, x(T) = x_0$
Это максимальная достижимая скорость, при заданной конечной координате $x_0$. Из соображений симметрии, минимум будет соответствующий. Вот и получите искомую область. Функционал максимизируется стандартными способами.

[1r0pb]

sup, да, я Вас понял. Спасибо.
Ну у меня все равно парабола вышла.

[sup]

Это странно. А Вы до кубических полиномов добрались? Вам удалось установить, что максимум достигается на кубических полиномах?

[1r0pb]

Вспомогательный функционал Лагранжа:
$F=\int_{0}^{T}[\ddot{x}+\lambda {(\ddot{x})}^{2}]dx,\ f=\ddot{x}+\lambda {(\ddot{x})}^{2}.$
Уравнение Эйлера-Пуассона:
${\dot{f}}_{x}-\frac{d}{dt}({\dot{f}}_{\dot{x}})+\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}({\dot{f}}_{\ddot{x}})=0.$
$\frac{{d}^{2}}{d{t}^{2}}(1+2\lambda \ddot{x})=0\ \Rightarrow \ \frac{d}{dt}(1+2\lambda \ddot{x})=2{C}_{1},\ 1+2\lambda \ddot{x}={2C}_{1}t+{2C}_{2}+1\ \Leftrightarrow \ \lambda \ddot{x}={C}_{1}t+{C}_{2},\ ...\ ,\ x=\frac{{C}_{1}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{3}+\frac{{C}_{2}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{2}.$

Итого
$\left\{\!\begin{aligned}& x=\frac{{C}_{1}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{3}+\frac{{C}_{2}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{2}\\ & \dot{x}=\frac{{3C}_{1}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}{t}^{2}+\frac{{2C}_{2}{x}_{0}}{{C}_{1}{T}^{3}+{C}_{2}{T}^{2}}t.\end{aligned}\right.$

-- Пт дек 26, 2014 11:56:25 --

sup в сообщении #952454 писал(а):

Это странно. А Вы до кубических полиномов добрались? Вам удалось установить, что максимум достигается на кубических полиномах?

sup, да, невнимательно делал, поэтому упустил.

[sup]

Я так и не понял, добрались Вы до ответа или нет. Но для кубических полиномов предполагаемое решение легко выписывается в виде
$x = \frac{t^2}{T^2}(x_0 + \alpha(t-T))$
Теперь надо подобрать $\alpha$ так, чтобы и максимум/минимум производной был и интеграл был меньше $1$.
В ответе у меня вроде бы получился эллипс. Но это так, на скорую руку. Детально я не проверял.