2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение22.12.2014, 09:56 


11/12/14
12
Доказать, что преобразование $\phi$ пространства $R^3$ является линейным. Найти матрицу этого преобразования в единичном базисе. Найти ранг и дефект этого преобразования.
$\phi(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_2)$

Я думаю, что $\phi$ - это вектор или линейная комбинация векторов. Подскажите с чего начать?
И как называется $\phi$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение22.12.2014, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13440
с Территории
$\phi$ называется "преобразование". Оно не может быть ни вектором, ни комбинацией векторов, так же как один человек не может быть армией. Что оно линейно, это очевидно. Так что можете начинать с матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение22.12.2014, 11:44 


11/12/14
12
Определение линейного преобразования :
Преобразование (оператор, отображение) f линейного пространства в себя (запись $f: V \mapsto V$) называется линейным, если:
1) $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$
2) $f(\lambda x)=\lambda f(x)$
Условия 1 и 2 равносильны соотношению:
$f(\alpha x_1 + \beta x_2) = f(\alpha x_1) + f(\beta x_2)$

Начал решать так :
Чтоб доказать линейность преобразования достаточно доказать $(ax_1+ax_2, 4ax_1+2ax_3, ax_2)=a(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_3)$, правильно?
В учебнике http://pskgu.ru/ebooks/gusak/gusak_gl10.pdf внизу первой страницы : "Пусть f - линейное преобразование n-мерного линейного пространства, переводящее базисные векторы $e_1,e_2,e_3$ в векторы..."
В качестве векторов $e_1, e_2, e_3$ я взял $x_1 ,x_2, x_3$, а в качестве $e_1', e_2', e_3'$ -
$x_1+x_2, 4x_1 + 2x_3, x_3$ соответственно.
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение22.12.2014, 11:57 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2. Приведите свои попытки решения и/или укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.12.2014, 09:12 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение23.12.2014, 10:23 


28/05/12
214
zanac в сообщении #950590 писал(а):
Доказать, что преобразование $\phi$ пространства $R^3$ является линейным. Найти матрицу этого преобразования в единичном базисе. Найти ранг и дефект этого преобразования.
$\phi(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_2)$

Я думаю, что $\phi$ - это вектор или линейная комбинация векторов. Подскажите с чего начать?
И как называется $\phi$?

Линейная комбинация векторов это тоже вектор, а начать нужно с понимания что такое $x_1,x_2,x_3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение23.12.2014, 14:11 


11/12/14
12
Slow
аргументы функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение23.12.2014, 14:17 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Мда. И что Вы от нас ждете?
Ну давайте так. Пусть $A(x_1, x_2, x_3)= (-3x_3,x_1,x_2)$. Линейно? нет? почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение23.12.2014, 16:46 


03/06/12
2874
Быть может, вас натолкнет вот это: $\phi(x_1,x_2,x_3)=(x'_1,x'_2,x'_3)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение24.12.2014, 00:18 


11/12/14
12
Sinoid
$x_1=x_1'$ и т.д. для каждого x, так?
Otta
если применить определение линейного преобразования :
1)$A(x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1) = A(x_1, x_2, x_3) + A(x_2, x_3, x_1)$
2)$A(\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3) = \lambda  A(x_1, x_2, x_3)$
Следовательно - линейнозависимо

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение24.12.2014, 01:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
zanac в сообщении #951400 писал(а):
1)$A(x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1) = A(x_1, x_2, x_3) + A(x_2, x_3, x_1)$
А зачем вы сумму векторов $(x_1,x_2,x_3)$ и $(x_2,x_3,x_1)$ берёте? Чтобы показаь линейность, нужно показать $A(\vec u+\vec v) = A\vec u+A\vec v$ для всех пар $(\vec u,\vec v)$, а у вас получатся не все.

zanac в сообщении #951400 писал(а):
Следовательно - линейнозависимо
Что линейно зависимо? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение24.12.2014, 06:12 


28/05/12
214
Slow в сообщении #951084 писал(а):
zanac в сообщении #950590 писал(а):
Доказать, что преобразование $\phi$ пространства $R^3$ является линейным. Найти матрицу этого преобразования в единичном базисе. Найти ранг и дефект этого преобразования.
$\phi(x_1, x_2, x_3)=(x_1+x_2, 4x_1+2x_3, x_2)$

Я думаю, что $\phi$ - это вектор или линейная комбинация векторов. Подскажите с чего начать?
И как называется $\phi$?

Линейная комбинация векторов это тоже вектор, а начать нужно с понимания что такое $x_1,x_2,x_3$

Вектор или скаляр?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение24.12.2014, 08:15 


11/12/14
12
arseniiv в сообщении #951418 писал(а):
zanac в сообщении #951400 писал(а):
1)$A(x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1) = A(x_1, x_2, x_3) + A(x_2, x_3, x_1)$
А зачем вы сумму векторов $(x_1,x_2,x_3)$ и $(x_2,x_3,x_1)$ берёте? Чтобы показаь линейность, нужно показать $A(\vec u+\vec v) = A\vec u+A\vec v$ для всех пар $(\vec u,\vec v)$, а у вас получатся не все.

Вы хотите сказать, что мне нужно работать с матрицей А и не обращать внимание на вектор $(x_1, x_2, x_3)$?
zanac в сообщении #951400 писал(а):
Следовательно - линейнозависимо

Прошу прощения за опечатку, конечно линейноНЕзависима.

-- 24.12.2014, 07:16 --

Slow
судя по форме записи - вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение24.12.2014, 09:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5937
Новосибирск
zanac в сообщении #951400 писал(а):
Следовательно - линейнозависимо
arseniiv в сообщении #951418 писал(а):
Что линейно зависимо? :shock:
zanac в сообщении #951459 писал(а):
Прошу прощения за опечатку, конечно линейноНЕзависима.


- волны падали стремительным домкратом ...
- каким домкратом? :shock:
- прошу прощения за опечатку, конечно, центростремительным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что преобразование пространства r3 является лине
Сообщение24.12.2014, 14:58 


03/06/12
2874
zanac в сообщении #951400 писал(а):
$x_1=x_1'$ и т.д. для каждого x, так?

Координаты без штрихов-это координаты (скажем, точки) до преобразования, со штрихами-после.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group