Цепочки

[photon]

LynxGAV писал(а):

Eto tol´ko esli v lineinoi chasti spektra.

Во-первых, не масса, а $m^{-1}$ будет аналогом скорости, а во-вторых, аргументируйте, почему в линейной?

$m^{-1}=\frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_{x}\partial k_{y}}$,
а скорость звука:
$v=\frac{\partial\omega}{\partial k}$

Кстати, какой будет смысл выражения $\frac{\partial\omega}{\partial k}$
в нелинейной части? а для оптических фононов?

[LynxGAV]

Хронология развития событий.

Freude писал(а):

И еще информация, которая, возможно, поможет в решении данной задачи. Мне кажется, что аналогом эффективной массы для этой задачи будет скорость звука в цепочке, возможно я ошибаюсь.

LynxGAV писал(а):

Eto tol´ko esli v lineinoi chasti spektra.

photon писал(а):

LynxGAV писал(а):

Eto tol´ko esli v lineinoi chasti spektra.

Во-первых, не масса, а $m^{-1}$ будет аналогом скорости, а во-вторых, аргументируйте, почему в линейной?

$m^{-1}=\frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E}{\partial k_{x}\partial k_{y}}$,
а скорость звука:
$v=\frac{\partial\omega}{\partial k}$

Кстати, какой будет смысл выражения $\frac{\partial\omega}{\partial k}$
в нелинейной части? а для оптических фононов?

Итак, я подчеркивала, что задачу рассматриваю только как переформулированную на классические шарики и пружинки (а было показано, что данная модель дает правильное согласовние с квантовым рассмотрением, в любом случае переход от одной к другой - понятен). А там видно будет. Со всеми замечаниями по поводу эффективной массы - к Freude, как Вы правильно заметили я данным термином не злоупотребляю .

Поэтому когда я себе представляю звук в какой-нибудь кристаллической системе с n разными атомами в базисе (тут важным моментом является периодичность, но допустим в нашей цепочке "вставка" всего из нескольких шариков, причем массы не отличаются в сотни раз, что так и есть, тогда по первому очучению ее можно будет попробовать как-то приспособить к уже известному, а потом обобщать, ... даже если не начинать с такого простого случая, все равно мне кажется очень правдоподобным), то он вычисляется именно в линейной части спектра (т.н. continuous distribution), где $\omega = v_{sound} k$ и $v_{group}=v_{sound}$ -- волна по примеру примеру бегущих волн в струне.
$v_{group}=\frac{\partial \omega}{\partial k}$ - это групповая скорость. В нелинейной части, пусть будет в сильно нелинейной части, там где функция имеет максимум, $v_{group}=0$ -- это стационарная волна. Вообще процесс перехода должен проходить приблизительно так: линейная часть -- шарики двигаются в одном направлении с почти одинаковой амплитудой, нелинейная часть -- двигаются только тяжелые шарики. Для оптических фононов, если подразумевается оптическая часть дисперсионной кривой, звука нет. Тут тоже как будто два предела -- когда центр масс покоится и когда движутся только легкие шарики.

Тут я немного разошлась.

[LynxGAV]

Я вот думаю, может можно сделать так, чтобы вся цепочка со включением составляла один круг, тогда периодические условия можно наложить его замыканием и продолжением "поверху", но мне не ясно какой характер носят на самом деле включения, не единичные же? Или никакой последовательности в появлении не имеется?

[Freude]

В том то и дело, что единичные. Поэтому и возников вопрос. Не хочется отходить от общепринятых методов для периодических структур, но нужно констатировать факт, что рассматриваемая структура все же непериодическая. Но здесь возможно можно придумать какие-то приближения, что бы эти самые методы применить.

[LynxGAV]

Freude, если найдешь статью из физрева до четверга и что-то путное там, то оставь ее, пожалуйста, photon'у, а он мне перешлет или перешли напрямую.

[photon]

Найду и перешлю в течение дня, только этот вопрос не в эту тему, а скорее в тему с эфф. массой

[LynxGAV]

Такое ощущение, что задачка у меня висит в качестве "хвоста", то есть я о ней помню и с ней живу, но пока в деканат не вызовут, шевелиться не стану . Жаль, что мы говорим на разных языках. То есть для меня слова -- "гармоническое приближение" -- являются очевидными, но, в свою очередь, не хочется вникать в темы целых конференций, дабы не испортить свое первоначальное видение задачи.
Сейчас напишу только качественную оценку, которая тебе должна быть и так очевидна. Если интересует конкретный расчет, то постараюсь оформить в ближайшее время. Чтобы не показалось, что я утаиваю информацию и хочу выставить себя в хорошем свете, рассказываю: в школе такого не преподавали и даже не заикались и где можно почитать я тоже не знаю. Идею ты поймешь по ходу чтения .
1. Применимость. Тебе должно быть известно, что решетку с базисом можно рассматривать как слабое возмущение моноатомной решетки. Тут же напрашивается аналогия с моделью квазисвободных электронов. В этом случае газ свободных электронов можно ассоциировать с моноатомной линейной цепочкой, слабый периодический потенциал -- с малым изменением в силах, действующих между парами ближайших соседей. Как я поняла, тебя интересует весь энергетический спектр как электронов, так и дырок. Пока что я бы сказала, что такая аналогия не полна, но может быть весьма и весьма полезной.
2. Качественные оценки.

Freude писал(а):

Задач несколько, на мой взгляд они довольно интересные.

Как ни странно -- для меня тоже. Я бы добавила еще одну. Две различные по своим параметрам бесконечные цепочки соединяются воедино. На самом деле все эти задачи сводятся к одной -- оценка влияния процессов, происходящих в цепочках, друг на друга. Эдакий line effect (по аналогии со skin) . До какого места одна цепочка чувствует/знает о существовании другой. И сразу вопрос, каким методом нынче решена задача для гетероструктуры, представляющей из себя два соединенных между собой бесконечных полупроводника. И еще один вопрос. Догадываюсь, тебя и полубесконечные цепочки интересуют. Что значит полубесконечная? Упор делается на число шариков или на граничные условия? Если я зафиксирую последний шарик, то есть тот, который с одной стороны ограничивает цепочку, то получается задача с фиксированными граничными условиями. Шла волна, дошла до крайней точки, отразилась и, интерференционно накладываясь, пошла обратно. Вообще такие задачи более всего схожи с задачами на поверхностные моды. Или, например, если шарики заставляют колебаться с частотой большей некоторой максимальной, то амплитура убывает по экпоненциальному закону. Ладно об этом пока хватит, погнали дальше.

Freude писал(а):

Итак, есть две классические (квантовые) бесконечнопротяженные цепочки с разными параметрами (жесткости пружин и массы). Известны их спектры и волновые функции. Можно ли обладая такой информацией найти спектры и волновые функции комбинированной цепочки (кусок из одной бесконечнопротяженной цепочки вырезали и вставили в другую цепочку). Известна также длина цепочки-вставки.

Как тебе сказать. Задача, так как она сформулирована, то есть с упором на спектры бесконечных цепочек на является самодостаточной. Вот подумай, что тебе дают эти спектры. Теоретически, задача ставится двояко. Обычно изначально силовые константы, т.е. фактически жесткости пружин, предполагаются известными и находится спектр. Но они-то находятся из межатомных сил известными приближениями. По-любому, тебе это знание ничего не дает. Ну, почти ничего. Спектр второй, то есть бесконечной цепочки без вставки, нужен. А вот второй. Я бы сказала, что скорее не помешает отдельный спектр цепочки-вставки. Для десяти атомов его и считать-то нечего. Хотя-хотя-хотя. Это не совсем так. Потому что в такой постановке резко меняется распределение шариков, оно конечно и на спектр не оказывают влияние никакие соседние шарики. А в данном случае -- лучше уж другой массы, чем совсем никаких. То есть лучше бы выделить спектр 10 шариков из спектра бесконечной цепочки -- вот . Жаль, что в переводе на реальные явления считать численно, как я понимаю, проблематично и долго, и вообще для тебя такой вариант не проходит, -- для десятиатомарного слоя полупроводника. Поэтому я бы сформулировала задачку так: дан спектр бесконечной цепочки, в которую вставляется цепочка из 10 (для определенности ) шариков другой массы, соединенных пружинами с другой жесткостью.
Найти спектр. Усё .

Freude писал(а):

Другой варинат задачи, дана цепочка, в которой на некотором участке заданной протяженности массы элементов больше/меньше чем у остальных элементов цепочки.

Ну, это частный вариант предыдущей задачи. То есть либо задачу один нужно рассматривать как возмущение в задаче два, либо решать решать задачу один и тогда решение задачи два будет решением первой в предельном случае.

Freude писал(а):

Обе эти задачи интересно исследовать при различных протяженностях "дефектного участка" от одного звена до длинного участка в несколько десятков периодов.

У меня, на тот момент не знающей, что такое гетероструктура , возникла идея. 10 шариков это сильно много для меня. Я возьму и соберу их мысленно в один "толстенький" или наоборот "худенький". А что такое этот шарик в цепочке? Правильно ты пишешь, это точечный дефект в решетке. 10 атомов -- это линейный дефект. Если интересует один период, то я могу подробно его описать. Что касается большего, пока и не думала как обобщить, но физика ясна.

Freude писал(а):

Интересен также вопрос о граничных условиях.

LynxGAV писал(а):

Я вот думаю, может можно сделать так, чтобы вся цепочка со включением составляла один круг, тогда периодические условия можно наложить его замыканием и продолжением "поверху", но мне не ясно какой характер носят на самом деле включения, не единичные же? Или никакой последовательности в появлении не имеется?

Freude писал(а):

В том то и дело, что единичные. Поэтому и вознико вопрос. Не хочется отходить от общепринятых методов для периодических структур, но нужно констатировать факт, что рассматриваемая структура все же непериодическая. Но здесь возможно можно придумать какие-то приближения, что бы эти самые методы применить.

Думала и придумала. Имеется бесконечная цепочка, в которой 10 или сколько-то атомов других, важно, что их намного меньше, чем остальных. И что с ней делать. "Образно": во-первых, те шарики, что внутри, будут иметь собственные частоты нормальных колебаний, а те, что снаружи и которых много, -- свои. Потом по поводу так называемого одного периода. Да пофиг, что он один. Цепочку можно замкнуть и так, потому что она бесконечная. А нам важно распределение соседних шариков в общем по всей длине, а оно практически однородно, а эти 10 штук -- это возмущение для системы и их влияние сказывается на ограниченном участке пространства. (Вот в полупроводнике я не знаю, какое дальнодействие потенциала и кроме того, меняется соотношение носителей как-то наверное). Возникнут так называемые локальные моды колебаний. Есчо если интересуют звуковые волны. Возьму и зафиксирую первый атом вставки, пусть слева идет волна, доходит до шарика и отражается -- приехали. Теперь пусть шарик может совершать собственные колебания, тогда колебания вглубь вставки будут накладываться, т.е. звук либо ускоряться, либо замедляться. Точно так же и в сторону одного из бесконечных концов тоже будет наложение. Нет никакой причины думать, что в концах слева и справа частоты не будут одинаковыми. Как раз будут -- судя из симметрии. Тут басни типа "идет волна, проходит через 10-ый атом, изменяется и идет дальше" не прокатят, потому что такая волна как слева направо, так и справо налево, может идти. Затухание или усиление, что я называю результатом наложения , зависит от параметров задачи. По моим прикидкам сильное влияние на локальные моды будет как ни странно, когда внутренние шарики -- легче, а если тяжелые -- то не очень.

Freude писал(а):

Пока интересуют именно колебательные состояния цепочки (ну если хотите фононный спектр). Кстати, еще вопрос, как вы думаете, будет ли и при каких параметрах такая комбинированная цепочка локализовать колебания в дефектной области?

То есть ты меня понял, я не нашла ничего умнее, чем искать спектр, исходя из того, что вставка из одного атома -- это дефект (вообще это примесь, сплав) -- и посчитала. Поэтому отвечаю, что колебания в дефектной области будут локазализованы и для десяти шариков -- по сравнению-то с N^{сам догадайся в какой степени} .

У меня так много вопросов, что боюсь их все задавать. Перечитала другую тему, в ней есть ответ на вопрос о решении задачи для двух полупроводников -- в этом случае вылазит нелокальный оператор Гамильтона. Недавно втирала кое-кому, чтобы я делала, если бы у меня был один электрон и два разных атома и далее, обобщая, разные атомы направо и налево -- применяла бы и в одну, и в другую сторону разложение Фурье...

LynxGAV писал(а):

Каким видом у вас задается потенциал взаимодействия двух "шариков" одной оцепочки, граничных "шариков" разных цепочек?

Freude писал(а):

Кто же его знает?
Ясно одно: он непрерывный и дважды дифференцируемый, кроме того он кусочно периодический.

Совсем скромно спрошу. Его что и искать никто не пытался? Ну что еще может быть проще после одного твердого тела -- только два удачным образом соединенных . Я думаю, что процесс внедрения атомов является достаточно точным и аккуратным. Что никто не пробовал использовать метод Хартри-Фока? Дополнительный вопрос: надеюсь, что спектр и потенциал в отдельной "нанопленке-вставке" уже изучен? Замечание: никогда не слышала о функциях Wannie, открыла, прочитала пять первых строк и сказала себе, что они в данном случае не пригодны. Что мало прочитала?
Вобщем пишите свои замечания и пожелания, только, чур, на языке шариков или фононов. Не спугните дичь . Боюсь начать читать статьи по гетероструктурам .
Мне кажется странным, что такие "простые" вопросы в мире еще не решены , а если и решены, то методы устраивают не всех.

[LynxGAV]

Вот, например, поглядите сюда. Прикиньте, люди по одному атому статьи писали в физреве. Работы на годы или надо знать, где искать .

PS Посмотрела -- тут правда случай ангармонического приближения, зато присутствует слово local modes .

Кто-то что-то численно считает. Мне лень искать "наши" варианты среди прочего потока. Заметьте, все так и остановились на одном измерении -- задача, видно, не из легких.
Еще, может, тут.

Вы знаете, что такое поляроны, экситоны, магноны, плазмоны, геликоны и прочие ..тоны? Не напускаю дыма, это все неким образом завязано, учитывая, что я не во всех "..тонах" разбираюсь одинаково хорошо. Мне, кажется, что еще чуть-чуть и Альберта готова -- по уши в квантово-размерных структурах (КРС). И правильно, они же не крупный рогатый скот, чтобы рогами отпугивать .
Блин, что мне так небезразличны чужие задачи. Хочется прочитать и посмотреть, что сейчас люди делают, например, "Exact solutions of effective mass Schroedinger equations" Roy 2001. И вообще.
Слушайте, а это сейчас "модное" направление, прямо как БЭК. Но на уровне шариков и фононов можем беседовать смело .

[LynxGAV]

Ну что, пора раздавать комплименты? Вы (Freude или photon? оба? в результате мучительных дискуссий? ) решили рассмотреть фононный спектр вместо электронного, а я посчитала, что несколько других атомов и тем более один -- это дефект и его можно рассматривать с помощью теории возмущений бесконечного порядка. Оттуда и каверзные вопросы о дайсонианах (Dysonian) и гринианах (Greenian).. Нашла книгу, в которой кое-что есть. Даже и решение в чистом виде. Теперь не придется мои каракули разбирать . Вот вам на завтрак картинка .

Нужную главу уже отсканила и скоро пришлю. Вообще координаты такие (кстати, неплохая книга): "A Quantum Approach to the Solid State" Philip L. Taylor.
Теперь о грустном. Почитать можно, но данный метод, даже если его попробовать распространить на вставку из десяти атомов, похоже не решит проблему хотя бы для двух полубесконечных цепочек с разными пружинами и массами шариков. Тут возмущениями и не пахнет. Хотя опять-таки цепочки в зависимости от параметров будут влиять друг на друга локально. Буду думать.. А вдруг чего еще в голову взбредет. Параллельно представляю себе возможное численное решение.

photon писал(а):

Я задам тебе каверзный вопрос - не спеши отвечать:
функция, описывающая скорость звука от координаты, является непрерывной? Для
звука я не знаю, для эффективных масс - знаю и в этом корень проблемы.

На фоне шариков и пружинок я бесстрашна . Вернемся к этому сообщению:

photon писал(а):

Скорость звука:
$v=\frac{\partial\omega}{\partial k}$

Кстати, какой будет смысл выражения $\frac{\partial\omega}{\partial k}$
в нелинейной части? а для оптических фононов?

Вот это $v=\frac{\partial\omega}{\partial k}$ -- групповая скорость и смысл выражения аналогичен смыслу групповой скорости. Без дефектов $w(k) \sim \left|sin\frac{ka}{2} \right|$, где $a$ -- расстояние между шариками в покое. Что такое график модуль синуса мы знаем -- это график синуса, отраженный относительно оси абсцисс на верхнюю полуплоскость . Его достаточно рассматривать на промежутке $[0, 2\pi]$. Дисперсионная кривая линейна $w=v|k|$, когда $k \to 0$ (длина волны велика по сравнению с расстоянием между шариками -- что тоже самое) и соседние атомы в один и тот же промежуток времени имеют почти одинаковое смещение из положения равновесия. А звук -- это продольная волна. Поэтому даже если усложнить систему в оптической части дисперсионной кривой звука не будет. Вот готовый малюнок и ответы на вопросы:

И напоследок. При рассмотрении динамических свойств твердых тел задача сводится к нахождению собственных функций и собственных значений эрмитовских и неэрмитовских матриц. Похоже, да? Я слышала о нескольких методах, попробую на них инфу поискать.
Мои монологи смотрятся в высшей степени странно .

[Freude]

Уважаемая, дорогая, драгоценная LynxGAV, огромное спасибо за информацию! Я ее сейчас перевариваю и ощущаю приятное насыщение вместе с нарастающим голодом (парадокс?). Все что вы прислали - архиинтересно! Пришлите пожалуйста остальную часть отсканированного материла - слюнки текут.
Честно говоря, когда мы с photon формулировали задачу о гетероструткре на языке цепочек, мы не ожидали, что зайдет так далеко - мы думали что эта задача давно решена и решение будет на блюдечке. Теперь я вижу длинный путь Dao, лежащий впереди, - это то, что еще предстоить в этой предметной области сделать.
P.S. Извините за лирику - не сдержался.

[LynxGAV]

Отдельно пару слов о другом скане:
1. NFC (the negative factor-counting method).
2. The recursion method.
3. EOM (the equation-of-motin method).
Dynamical Properties of Solids.
Volume 4.
Disordered Solids, Optical Properties.
Edited by G.K.Horton and A.A.Maradudin
North-Holland

[Freude]

Теперь по делу. Все что вы порекомендовали, я просмотрел - очень интересно. Да, я разделяю ваше мнение, по поводу того, что нужно, наверное, начать с полуограниченной цепочки - эффект границы. Мне думается, что количество звеньев цепочки-вставки играет важную роль. Представьте, если число звеньев равно бесконечности, догадываетесь. По поводу математической формулировки - по личной переписке, только подождите пока подготовлю доковский файл.

[photon]

LynxGAV писал(а):

Блин, что мне так небезразличны чужие задачи. Хочется прочитать и посмотреть, что сейчас люди делают, например, "Exact solutions of effective mass Schroedinger equations" Roy 2001. И вообще.

Плохо только, что в Arxiv-е нужно ОЧЕНЬ серьезно фильтровать информацию - ее много, много хорошей, но не все вычищено и достоверно.... В Phys.Rev., Quantum Electron etc. тоже бывают проколы... но реже.

[Freude]

Нет, я думаю теорию возмущений здесь можно приложить, но только в несколько ином русле. Наверное вставку из нескольких десятков периодов нельзя рассматривать как дефект. Но если мы знаем решения для такой же бесконечной цепочки (из таких же шариков и пружинок), а теперь ее обрезали и присоединили к краям другие полубесконечные цепочки, то, возможно, влияние этих полубесконечных цепочек на границах нашей цепочки (пусть нас интересуют движения шариков именно цепочки-вставки) и можно рассматривать как возмущение бесконечной цепочки. Наверно путано. Давайте проще: можно ли рассматривать границу цепочки (закрепленный шарик), как возмущение в бесконечно протяженной цепочке.

[Freude]

По поводу -тоновм (плазмонов, экситонов и др.), думаю их обединяет то, что они квазичастицы и получены методом вторичного квантования некоторых волн. Ошибаюсь? Так по крайней мере дело обстоит с фононами.