Школьная задача по теории чисел

[Qazed]

Здравствуйте, пытаюсь тут решить одну задачку:

Цитата:

Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению

$$ x^2 -2xy -3y^2 + 2x -y+3 = 0 $$

Использую метод неопределённых коэффициентов:

$$ x^2 -2xy -3y^2 + 2x -y+3 = 0 \equiv A D x^2 y^2+A E x^2 y+A F x^2+B D x y^2+B E x y+B F x+C D y^2+C E y+C F = 0$$

Получаю, что

$$ \underbrace{AD=0}_1 \wedge AE = 0 \wedge \underbrace{AF = 1}_2 \wedge BD = 0 \wedge BE =-2 \wedge BF=2 \wedge \underbrace{CD = -3}_3 \wedge CE = -1 \wedge CF = 3 $$

Очевидно, что выделенные условия не могут выполнятся одновременно. Эта штука не решается... Прошу помочь

[ИСН]

Что и зачем Вы хотели найти методом неопределённых коэффициентов?

[Qazed]

1. Попытаться разложить на множители и приравнять произведение нулю
2. Получить противоречие (получено, но решения есть) для доказательства отсутствия решения
3. Понять, что данным методом воспользоваться не получится и искать другой

[ИСН]

Где же такое бывало, чтобы подобная штука раскладывалась на множители? Да и кстати, множители какого вида?
С другой стороны, Вы о кривых второго порядка что-нибудь слышали?

[Sonic86]

фигня удалена.

Форму надо правильно брать.

[Qazed]

ИСН в сообщении #950457 писал(а):

Где же такое бывало, чтобы подобная штука раскладывалась на множители? Да и кстати, множители какого вида?

$$ (Ax^2 + Bx + C)(Dy^2 + Ey + F)=0 $$

ИСН в сообщении #950457 писал(а):

С другой стороны, Вы о кривых второго порядка что-нибудь слышали?

Не слышал, к сожалению

[provincialka]

У меня она почти разложилась. С точностью до линейного свободного члена. А дальше можно переобозначить переменные.

Но, возможно, есть метод поизящнее.

[ИСН]

Выделите полный квадрат, который бы вобрал в себя все иксы.

[Sonic86]

Qazed в сообщении #950462 писал(а):

$$ (Ax^2 + Bx + C)(Dy^2 + Ey + F)=0 $$

А если бы было $x^2-y^2$?

[Qazed]

Я нашёл выражение для икса методом выделения полного квадрата:

$$ x = y - 1 \pm \sqrt{4y^2 - y - 2} $$

-- 21.12.2014, 23:40 --

Sonic86 в сообщении #950465 писал(а):

Qazed в сообщении #950462 писал(а):

$$ (Ax^2 + Bx + C)(Dy^2 + Ey + F)=0 $$

А если бы было $x^2-y^2$?

Что мешает быть $D < 0$?

[ИСН]

Не надо было находить выражение для икса методом выделения полного квадрата. Выделите полный квадрат, который бы вобрал в себя все иксы.

-- менее минуты назад --

На досуге можете исследовать вопрос о том, в каких именно случаях выражение, содержащее $x^2,y^2,xy,x,y$ и константу, но не содержащее $x^3,x^2y,xy^2,y^3,x^2y^2$ и всего такого, разлагается в произведение множителей указанного вида. Нет, действительно, проверьте это, оно интересно.

[Qazed]

$$ \left( x+\dfrac{1}{2}(2-2y) \right)^2 = 4y^2-y-2 $$

[ИСН]

Ага, спасибо. Теперь можете в левой части добавить ещё бессмысленных умножений и делений, а в правой выделить ещё один полный квадрат, который бы вобрал в себя всё остальное (кроме константы).

-- менее минуты назад --

Нет, ну а что я должен был подумать, глядя на эти ${1\over2}(2y)$? Что человека похитили инопланетяне и обещают отрезать ему ухо, если он не напишет за день 200 как-бы-осмысленных двоек. У нас на форуме и не такие случаи бывали.

[Cash]

Для почти всех $y$ правую часть можно заключить между двумя последовательными квадратами.

[ИСН]

Возможно. Но лучше как я сказал.