2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 21:56 
Аватара пользователя
Здравствуйте, пытаюсь тут решить одну задачку:
Цитата:
Найдите все пары целых чисел $(x;y)$, удовлетворяющих уравнению
$$ x^2 -2xy -3y^2 + 2x -y+3 = 0 $$


Использую метод неопределённых коэффициентов:
$$ x^2 -2xy -3y^2 + 2x -y+3 = 0 \equiv A D x^2 y^2+A E x^2 y+A F x^2+B D x y^2+B E x
   y+B F x+C D y^2+C E y+C F = 0$$
Получаю, что
$$ \underbrace{AD=0}_1 \wedge AE = 0 \wedge \underbrace{AF = 1}_2 \wedge BD = 0 \wedge BE =-2 \wedge BF=2 \wedge \underbrace{CD = -3}_3 \wedge CE = -1 \wedge CF = 3 $$
Очевидно, что выделенные условия не могут выполнятся одновременно. Эта штука не решается... Прошу помочь

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:15 
Аватара пользователя
Что и зачем Вы хотели найти методом неопределённых коэффициентов?

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:21 
Аватара пользователя
1. Попытаться разложить на множители и приравнять произведение нулю
2. Получить противоречие (получено, но решения есть) для доказательства отсутствия решения
3. Понять, что данным методом воспользоваться не получится и искать другой

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:28 
Аватара пользователя
Где же такое бывало, чтобы подобная штука раскладывалась на множители? Да и кстати, множители какого вида?
С другой стороны, Вы о кривых второго порядка что-нибудь слышали?

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:33 
фигня удалена.

Форму надо правильно брать.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:34 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #950457 писал(а):
Где же такое бывало, чтобы подобная штука раскладывалась на множители? Да и кстати, множители какого вида?

$$ (Ax^2 + Bx + C)(Dy^2 + Ey + F)=0 $$
ИСН в сообщении #950457 писал(а):
С другой стороны, Вы о кривых второго порядка что-нибудь слышали?

Не слышал, к сожалению

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:34 
Аватара пользователя
У меня она почти разложилась. С точностью до линейного свободного члена. А дальше можно переобозначить переменные.

Но, возможно, есть метод поизящнее.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:35 
Аватара пользователя
Выделите полный квадрат, который бы вобрал в себя все иксы.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:36 
Qazed в сообщении #950462 писал(а):
$$ (Ax^2 + Bx + C)(Dy^2 + Ey + F)=0 $$
А если бы было $x^2-y^2$?

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:38 
Аватара пользователя
Я нашёл выражение для икса методом выделения полного квадрата:
$$ x = y - 1 \pm \sqrt{4y^2 - y - 2} $$

-- 21.12.2014, 23:40 --

Sonic86 в сообщении #950465 писал(а):
Qazed в сообщении #950462 писал(а):
$$ (Ax^2 + Bx + C)(Dy^2 + Ey + F)=0 $$
А если бы было $x^2-y^2$?

Что мешает быть $D < 0$?

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:40 
Аватара пользователя
Не надо было находить выражение для икса методом выделения полного квадрата. Выделите полный квадрат, который бы вобрал в себя все иксы.

-- менее минуты назад --

На досуге можете исследовать вопрос о том, в каких именно случаях выражение, содержащее $x^2,y^2,xy,x,y$ и константу, но не содержащее $x^3,x^2y,xy^2,y^3,x^2y^2$ и всего такого, разлагается в произведение множителей указанного вида. Нет, действительно, проверьте это, оно интересно.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:46 
Аватара пользователя
$$ \left( x+\dfrac{1}{2}(2-2y) \right)^2 = 4y^2-y-2 $$

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:50 
Аватара пользователя
Ага, спасибо. Теперь можете в левой части добавить ещё бессмысленных умножений и делений, а в правой выделить ещё один полный квадрат, который бы вобрал в себя всё остальное (кроме константы).

-- менее минуты назад --

Нет, ну а что я должен был подумать, глядя на эти ${1\over2}(2y)$? Что человека похитили инопланетяне и обещают отрезать ему ухо, если он не напишет за день 200 как-бы-осмысленных двоек. У нас на форуме и не такие случаи бывали.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 22:59 
Для почти всех $y$ правую часть можно заключить между двумя последовательными квадратами.

 
 
 
 Re: Школьная задача по теории чисел
Сообщение21.12.2014, 23:03 
Аватара пользователя
Возможно. Но лучше как я сказал.

 
 
 [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group