[Линейная алгебра] Прошу проверить решения

[g______d]

kp9r4d в сообщении #948070 писал(а):

Если для любого $x$ вектора $x, Ax, A^2x, ... ,A^{k-1} x$ линейно независимы, то степень минимального многочлена $A$ не больше $k$.

Какое-то странное условие. Например, если у оператора есть хотя бы один собственный вектор $x$, то $x$ и $Ax$ будут зависимы. Над $\mathbb C$ собственные вектора есть всегда. Над $\mathbb R$ не всегда, но если нет, то можно разбить на инвариантные подпространства размерности 2, и для вектора из этого пространства $x$, $Ax$, $A^2x$ обязательно будут линейно зависимы.

[patzer2097]

g______d в сообщении #948076 писал(а):

Какое-то странное условие.

там опечатка, должно быть, видимо, "линейно зависимы"

kp9r4d в сообщении #948070 писал(а):

минимальный многочлен непрерывно от оператора зависит

это вряд ли, ведь у $\varepsilon E_{12}$ минимальный многочлен $t^2$, а у нуля - $t$

[kp9r4d]

patzer2097 в сообщении #948077 писал(а):

это вряд ли, ведь у $\varepsilon E_{12}$ минимальный многочлен $t^2$, а у нуля - $t$

Точно, спасибо. Я ещё подумаю.

patzer2097 в сообщении #948077 писал(а):

там опечатка, должно быть, видимо, "линейно зависимы"

Опечатка, конечно. Моя, причём. В оригинальном условии всё в порядке.

[kp9r4d]

Что-то совсем тяжко идёт, подскажите, пожалуйста.

[patzer2097]

Ну если $A$ в жордановой форме, то в качестве $x$ можно взять любой вектор, все координаты которого ненулевые. По сути (хотя обоснование этого - самый нетривиальный шаг решения) достаточно доказать утверждение для жордановой клетки, дальше работает индукция.

Кстати, верно ли это утверждение для матриц над произвольным полем, сразу сказать не возьмусь.

[kp9r4d]

Пусть (по условию) существуют такие $\mu_i$ (не все равные нулю) что $(\mu_0 + \mu_1 A + ... + \mu_{k-1} A^{k-1})v = 0$, для какого-то вектора $v$. Тогда многочлен $(\mu_0 + \mu_1 x + ... + \mu_{k-1} x^{k-1})$ является аннулирующим для $A$. Рассмотрим случай одной жордановой клетки, в случае произвольного оператора описанные построения можно проделать отдельно для каждой клетки. И, так как минимальный многочлен является делителем любого аннулирующего, то он не может быть степени больше, чем $k-1$ (снова усиление?)
Пусть $A$ жорданова клетка порядка $n$ со собственным значением $\lambda$, $v$ — вектор с ненулевыми координатами, и известно, что, $(\mu_0 +\mu_1 A + ... + \mu_{k-1} A^{k-1})v=0$, тогда $\mu_0 +\mu_1 A + ... + \mu_{k-1} A^{k-1}=0$. Рассмотрим в координатной форме запись выше:
$(\mu_0 + \mu_1 \lambda + ... + \mu_{k-1} \lambda^{k-1}) v_n = 0$
$\mu_0 v_{n-1} + \mu_1 (\lambda v_{n-1} + 1 v_n) + \mu_2 (\lambda^2 v_{n-1} + 2\lambda v_n) + ... + \mu_{k-1} (\lambda^{k-1} v_n + (k-1) \lambda^{k-2} v_{n-1}) = 0$
из первого равенства следует, в силу того, что $v_n \neq 0$
$\mu_0 + \mu_1 \lambda + ... + \mu_{k-1} \lambda^{k-1} = 0$
из второго равенства, при помощи первого, получаем
$(\mu_1 + \mu_2 2 \lambda + .... + \mu_{k-1} (k-1) \lambda^{k-2})v_{n} = 0$
и отсюда же
$(\mu_1 + \mu_2 2 \lambda + .... + \mu_{k-1} (k-1) \lambda^{k-2}) = 0$
в общем случае, пусть $f \lambda = \mu_0 + \mu_1 \lambda + ... + \mu_{k-1} \lambda^{k-1}$, применяя индукцию, можно доказать $n$ равенств $f \lambda = 0, \Delta f \lambda = 0, \Delta^2 f \lambda = 0, ..., \Delta^{n-1} f \lambda = 0$, где $\Delta^k f \lambda$ означает $k$-ую частичную разность многочлена $f \lambda$. Полученные равенства эквивалентны исходным и от $v$ не зависят, это означает, что $\mu_0 +\mu_1 A + ... + \mu_{k-1} A^{k-1}$ обнуляет любой вектор с ненулевыми координатами, а из этого следует, что $\mu_0 +\mu_1 A + ... + \mu_{k-1} A^{k-1}$ тождественно равен нулю.

[patzer2097]

Я читаю Ваше решение, но уже с самого начала ничего не понимаю:

kp9r4d в сообщении #948853 писал(а):

Пусть (по условию) существуют такие $\mu_i$ (не все равные нулю) что $(\mu_0 + \mu_1 A + ... + \mu_{k-1} A^{k-1})v = 0$, для какого-то вектора $v$. Тогда многочлен $(\mu_0 + \mu_1 x + ... + \mu_{k-1} x^{k-1})$ является аннулирующим для $A$.

Это требует пояснений, тем более что в вырожденном случае это неверно: пусть $v=0$ и $\mu_j=0$...

[kp9r4d]

Для какого-то вектора $v$ у которого все координаты ненулевые. Это доказывается ниже, со второго абзаца, я просто хотел сначала расписать очевидный план решения, а потом реализацию, что ли. Такие $\mu_i$ существуют по условию в силу линейной зависимости векторов $v, Av, A^2 v, ..., A^{k-1} v$.

[patzer2097]

А, понял. Только эта часть

kp9r4d в сообщении #948853 писал(а):

в случае произвольного оператора описанные построения можно проделать отдельно для каждой клетки

кажется мне самой содержательной и требующей объяснений. А для жорд.клетки все вроде нормально, только может быть проще сразу заметить, что условие задачи выполнено для $A$ тогда и только тогда, когда оно выполнено для $A-\lambda E$. Поэтому можно ограничиться случаем нильпотентной клетки, а он очевиден.

[kp9r4d]

patzer2097 в сообщении #949031 писал(а):

кажется мне самой содержательной и требующей объяснений.

Спасибо, что прочитали! Но я не понимаю, в чём содержательность? Ведь проделывая отдельно для каждой клетки построения мы опять получим список утверждений вида
$f \lambda_1 = 0, \Delta f \lambda_1 = 0, ..., \Delta^{n_1-1} f \lambda_1 = 0$
$f \lambda_2 = 0, \Delta f \lambda_2 = 0, ..., \Delta^{n_2-1} f \lambda_2 = 0$
...
$f \lambda_q = 0, \Delta f \lambda_q = 0, ..., \Delta^{n_q-1} f \lambda_2 = 0$
который эквивалентен исходному и от $v$ он не зависит. Где $n_i$ — размер соответствующей жордановой клетки, а $\lambda_i$ её собственное значение.

patzer2097 в сообщении #949031 писал(а):

А для жорд.клетки все вроде нормально, только может быть проще сразу заметить, что условие задачи выполнено для $A$ тогда и только тогда, когда оно выполнено для $A-\lambda E$. Поэтому можно ограничиться случаем нильпотентной клетки, а он очевиден.

Очень элегантно, спасибо!

[kp9r4d]

По-поводу задачи 24 дошёл вот до чего. Считать такое расстояние, это всё равно, что считать расстояние от $1 - x^k$ до подпространства многочленов, степени меньше, чем $k$. Легко показать алгебраической выкладкой, что это в точности равно норме векторов, получающихся при ортагонализации Грамма-Шмидта системы векторов $\{1,x,x^2,x^3,...\}$. Я посчитал норму первых 20 многочленов в вольфраме, очень похоже на то, что она равна $\frac{1}{C_{2k}^k \sqrt{2k+1}}$. Однако если это так, то у меня вообще идей нету как доказать (откуда взялась столь комбинаторная функция?).

-- 19.12.2014, 18:59 --

Если что, то задача звучит так:
Зададим на пространстве $\mathbb{R}[t]$ скалярное произведение по формуле $(f,g) = \int_0^1 fg dt$. Найдите расстояние от $1$ до $A$, где $A$ — множество многочленов степени $k$ со старшим коэффициентом $1$.

[patzer2097]

Вроде бы все правильно Вы написали, действительно стандартный метод с ортогонализацией работает. А что касается получаемых многочленов, можете посмотреть тут.

[kp9r4d]

patzer2097
Ого, там целая небольшая теория. Жаль в статье не написали, как норму считать, но попробую что-нибудь узнать про это. Спасибо.

[kp9r4d]

Ещё ответ на задачу 24 выражается отношением двух определителей порядка $n+1$ и $n$ $D(n+1)/D(n) = \rho^2$ , где $D(n)$ определитель матрицы порядка $n$ с элементами $\frac{1}{i+j-1}$ но что-то у меня не получается никак посчитать ни его отдельно, ни отношение этих определителей.

[kp9r4d]

Посчитал, определитель равен
$\frac{(\prod\limits_{k=1}^{n-1} k!)^3}{\prod\limits_{k=n}^{2n-1} k!}$
Отношение двух последовательных таких определителей равно
$\frac{(n!)^4}{(2n)!(2n+1)!}=\frac{1}{(C_{2n}^n)^2 (2n+1)}$